Questão 5: O consumo (em quadrilhões de Btu/ano) de petróleo projetado para os Estados Unidos entre o ano de 2000 e 2020 está projetado para ser descrito pela função C_{1}(t)=-0,011 t^{2}+ 0,7 t+38,3, com 0 \leq t \leq 20 e t=0 representando o consumo em 2000. Se o consumo real de petróleo no período for descrito pela função C_{2}(t)=-0,008 t^{2}+0,65 t+38,1 para 0 \leq t \leq 20, determine qual seria economia de petróleo durante este período.

Passo 1

O enunciado dá duas previsões do consumo de petróleo (em quadrilhões de Btu por ano) para os EUA no período de 2000 a 2020, com t medindo anos desde 2000 ( t=0 em 2000, t=20 em 2020). As informações relevantes são:
C_{1}(t) = -0,011\,t^{2} + 0,7\,t + 38,3,\quad 0 \le t \le 20
C_{2}(t) = -0,008\,t^{2} + 0,65\,t + 38,1,\quad 0 \le t \le 20
Unidade: consumo instantâneo em quadrilhões de Btu por ano. O que o enunciado pede: “determine qual seria economia de petróleo durante este período” — isto é, o total acumulado (durante os 20 anos) que se economiza se o consumo real é C_{2}(t) em vez da projeção C_{1}(t). Em termos matemáticos, precisamos calcular a integral do diferencial entre as duas curvas ao longo de t\in[0,20]:
\text{economia total}=\int_{0}^{20} \bigl(C_{1}(t)-C_{2}(t)\bigr)\,dt.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função diferença D(t)=C_{1}(t)-C_{2}(t). Subtraindo termo a termo:
D(t)=\bigl(-0,011\,t^{2}+0,7\,t+38,3\bigr)-\bigl(-0,008\,t^{2}+0,65\,t+38,1\bigr).
Fazendo as contas coeficiente a coeficiente:
  • coeficiente de t^{2}: -0,011-(-0,008)=-0,003,
  • coeficiente de t: 0,7-0,65=0,05,
  • termo constante: 38,3-38,1=0,2.
Logo:
D(t) = -0,003\,t^{2} + 0,05\,t + 0,2.
Esse D(t) é a economia instantânea (em quadrilhões de Btu por ano) em cada ano t.

Passo 3

Para obter a economia total acumulada ao longo de 20 anos, integramos D(t) de 0 a 20:
\text{economia total}=\int_{0}^{20} D(t)\,dt = \int_{0}^{20} \bigl(-0,003\,t^{2} + 0,05\,t + 0,2\bigr)\,dt.
Explico rapidamente por que integrar: a função D(t) dá a taxa/quantidade por ano; integrar uma taxa ao longo do tempo soma todas as pequenas quantidades para dar o total acumulado em unidades de quadrilhões de Btu (porque \text{(quadrilhão Btu/ano)}\times\text{(anos)}=\text{quadrilhão Btu}ãã).
Também preciso usar a regra básica de antiderivadas: para um monômio t^{n},
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Para uma constante a,
\int a\,dt = a\,t + C.
Vou aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Calcule a antiderivada de D(t). Integramos cada termo:
\int -0,003\,t^{2}\,dt = -0,003\cdot\frac{t^{3}}{3} = -0,001\,t^{3},
pois -0,003/3 = -0,001.
\int 0,05\,t\,dt = 0,05\cdot\frac{t^{2}}{2} = 0,025\,t^{2},
pois 0,05/2 = 0,025.
\int 0,2\,dt = 0,2\,t.
Portanto, uma primitiva F(t) de D(t) é
F(t) = -0,001\,t^{3} + 0,025\,t^{2} + 0,2\,t.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando F:
\int_{0}^{20} D(t)\,dt = F(20)-F(0).
Calcule F(20):
-0,001\cdot 20^{3} + 0,025\cdot 20^{2} + 0,2\cdot 20.
Passo a passo:
20^{3}=8000,\quad -0,001\cdot 8000 = -8.
20^{2}=400,\quad 0,025\cdot 400 = 10.
0,2\cdot 20 = 4.
Somando: -8 + 10 + 4 = 6.
Também F(0)=0 (todos os termos têm t). Logo a integral é 6.
Interpretação: a economia total no período de 20 anos é 6 (em unidades de quadrilhões de Btu).
Como comentário extra (útil para prova): a economia média por ano ao longo do período é \dfrac{6}{20}=0,3 quadrilhões de Btu por ano.

Resposta

6 quadrilhões de Btu

Exercícios relacionados