Questão 5: O consumo (em quadrilhões de Btu/ano) de petróleo projetado para os Estados Unidos entre o ano de 2000 e 2020 está projetado para ser descrito pela função
, com
e
representando o consumo em 2000. Se o consumo real de petróleo no período for descrito pela função
para
, determine qual seria economia de petróleo durante este período.
Passo 1
O enunciado dá duas previsões do consumo de petróleo (em quadrilhões de Btu por ano) para os EUA no período de 2000 a 2020, com
medindo anos desde 2000 (
em 2000,
em 2020). As informações relevantes são:
Unidade: consumo instantâneo em quadrilhões de Btu por ano. O que o enunciado pede: “determine qual seria economia de petróleo durante este período” — isto é, o total acumulado (durante os 20 anos) que se economiza se o consumo real é
em vez da projeção
. Em termos matemáticos, precisamos calcular a integral do diferencial entre as duas curvas ao longo de
:
Passo 2
Primeiro simplificamos a função diferença
. Subtraindo termo a termo:
Fazendo as contas coeficiente a coeficiente:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - termo constante:
.
Logo:
Esse
é a economia instantânea (em quadrilhões de Btu por ano) em cada ano
.
Passo 3
Para obter a economia total acumulada ao longo de 20 anos, integramos
de
a
:
Explico rapidamente por que integrar: a função
dá a taxa/quantidade por ano; integrar uma taxa ao longo do tempo soma todas as pequenas quantidades para dar o total acumulado em unidades de quadrilhões de Btu (porque
).
Também preciso usar a regra básica de antiderivadas: para um monômio
,
Para uma constante
,
Vou aplicar isso termo a termo.
Passo 4
Calcule a antiderivada de
. Integramos cada termo:
pois
.
pois
.
Portanto, uma primitiva
de
é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando
:
Calcule
:
Passo a passo:
Somando:
.
Também
(todos os termos têm
). Logo a integral é
.
Interpretação: a economia total no período de 20 anos é
(em unidades de quadrilhões de Btu).
Como comentário extra (útil para prova): a economia média por ano ao longo do período é
quadrilhões de Btu por ano.