Calcule a integral.
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional; vamos usar a técnica de escrever o numerador como combinação da derivada do denominador mais uma constante, e depois completar o quadrado para obter um termo de arco-tangente.

Passo 2

Escrevemos
x+2 = A\,(2x+1) + B,
pois 2x+1 é a derivada de x^{2}+x+2. Igualando coeficientes:
2A = 1\implies A=\tfrac12,
A + B = 2\implies \tfrac12 + B = 2\implies B = \tfrac32.
Logo
\frac{x+2}{x^{2}+x+2} = \frac{\tfrac12(2x+1)}{x^{2}+x+2} + \frac{\tfrac32}{x^{2}+x+2} = \tfrac12\frac{2x+1}{x^{2}+x+2} + \tfrac32\frac1{x^{2}+x+2}.

Passo 3

Integrando o primeiro termo:
\tfrac12\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+2}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr).

Passo 4

Para o segundo termo, complete o quadrado no denominador:
x^{2}+x+2 = \Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{2} + 2 - \tfrac14 = \Bigl(x+\tfrac12\Bigr)^{2} + \tfrac74.
Então
\int \frac{dx}{x^{2}+x+2} = \int \frac{du}{u^{2} + \bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr)^{2}} \quad\text{com }u = x+\tfrac12,
e
\int \frac{du}{u^{2} + \bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr)^{2}} = \frac{2}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{2u}{\sqrt7}\bigr) = \frac{2}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt7}\bigr).
Multiplicando pelo fator \tfrac32, obtemos
\tfrac32\int \frac{dx}{x^{2}+x+2} = \frac{3}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt7}\bigr).

Passo 5

Somando as duas partes, a integral geral é
\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr) + \frac{3}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt7}\bigr) + C.

Resposta

\int \frac{x+2}{x^{2}+x+2}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+x+2\bigr) + \frac{3}{\sqrt7}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x+1}{\sqrt7}\bigr) + C.

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