Calcule a integral \int \frac{-2 x+4}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{-2 x+4}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • O integrando é a função racional \dfrac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}.
  • O denominador tem um fator quadrático \(x^{2}+1) (que é irredutível sobre os reais) e um fator linear repetido \(x-1^{2}).
  • Não há outras condições dadas (domínio, etc.). A integral indefinida pede uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática):
  • Para integrar uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador, uma técnica prática e padrão é a decomposição em frações parciais: escrever a função como soma de frações mais simples cuja primitiva conhecemos.
  • Para cada fator irreduzível linear (x-a) repetido de multiplicidade k usamos termos \dfrac{C_1}{x-a}+\dfrac{C_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{C_k}{(x-a)^k}.
  • Para um fator quadrático irreduzível do tipo x^2+1 usamos um numerador linear Ax+B sobre esse fator.
    Aplicando isso aqui, propomos a decomposição
\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Igualando numeradores: multiplico ambos os lados por (x^2+1)(x-1)^2 para obter uma identidade polinomial em x:
-2x+4=(Ax+B)(x-1)^2+C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1).
Agora vou expandir cada termo separadamente para agrupar por potências de x.
Calcule (x-1)^2=x^2-2x+1. Então
(Ax+B)(x-1)^2=(Ax+B)(x^2-2x+1).
Expandindo:
(Ax+B)(x^2-2x+1)=A x^3+(-2A+B)x^2+(A-2B)x+B.
Para o segundo termo:
C(x^2+1)(x-1)=C(x^3-x^2+x-1)=C x^3 - C x^2 + C x - C.
O terceiro termo é
D(x^2+1)=D x^2 + D.
Somando tudo, o lado direito torna-se (agrupando coeficientes por potências):
(A+C)x^3 +\bigl(-2A+B -C +D\bigr)x^2 +\bigl(A-2B + C\bigr)x +\bigl(B - C + D\bigr).

Passo 4

Formar o sistema de equações igualando coeficientes ao polinômio do lado esquerdo [-2x+4), que tem coeficientes:
  • coeficiente de x^3: 0,
  • coeficiente de x^2: 0,
  • coeficiente de x: -2,
  • termo constante: 4.
Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] -2A + B - C + D = 0,\\[4pt] A - 2B + C = -2,\\[4pt] B - C + D = 4. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
  • Da primeira equação segue \displaystyle C=-A\]. - Substituindo \(C=-A na terceira equação:
A - 2B + (-A) = -2 \quad\Rightarrow\quad -2B = -2 \quad\Rightarrow\quad B=1.
  • Usando B=1 e C=-A na segunda equação:
-2A + 1 - (-A) + D = 0 \quad\Rightarrow\quad -2A + 1 + A + D =0 \quad\Rightarrow\quad -A + 1 + D =0,
portanto \displaystyle D = A - 1.
  • Finalmente, usar B=1 e C=-A na quarta equação:
1 - (-A) + D = 4 \quad\Rightarrow\quad 1 + A + D =4 \quad\Rightarrow\quad A + D =3.
Substituindo D=A-1 aqui:
A + (A-1) = 3 \quad\Rightarrow\quad 2A -1 =3 \quad\Rightarrow\quad 2A=4 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Com A=2 temos C=-A=-2 e D=A-1=1. Já tínhamos B=1.
Portanto:
A=2,\quad B=1,\quad C=-2,\quad D=1.]

Passo 5

Escrevo a decomposição com as constantes encontradas:
\frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}=\frac{2x+1}{x^2+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}.
Verificação rápida (mental): os coeficientes batem com o sistema resolvido, e agora cada parcela tem uma primitiva conhecida ou simples de achar.

Passo 6

Integro termo a termo. A integral original vira
\int \frac{-2x+4}{(x^2+1)(x-1)^2}\,dx =\int\frac{2x+1}{x^2+1}\,dx -2\int\frac{1}{x-1}\,dx +\int\frac{1}{(x-1)^2}\,dx.
Vou tratar cada integral separadamente e explicar a ideia por trás de cada uma:
  • Para \displaystyle \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx: a substituição natural é u=x^2+1, porque du=2x\,dx. Logo \displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\bigl(x^2+1\bigr). (Mais precisamente \ln\lvert x^2+1\rvert, mas x^2+1>0 sempre, então escrevo \ln(x^2+1).)
  • Para \displaystyle \int\frac{1}{x^2+1}\,dx: é a primitiva clássica \arctan(x).
    Juntando essas duas partes:
\int\frac{2x+1}{x^2+1}\,dx=\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\arctan(x).
  • Para \displaystyle -2\int\frac{1}{x-1}\,dx: sabemos que \int\frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert. Então essa parte é -2\ln\lvert x-1\rvert.
  • Para \displaystyle \int\frac{1}{(x-1)^2}\,dx: note que \dfrac{d}{dx}\bigl((x-1)^{-1}\bigr)=-1\cdot(x-1)^{-2}. Assim
\int (x-1)^{-2}\,dx=-(x-1)^{-1}=-\frac{1}{x-1}.

Passo 7

Somando todas as primitivas obtidas e incluindo a constante de integração C, a primitiva geral é
\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\arctan(x)-2\ln\lvert x-1\rvert-\frac{1}{x-1}+C.
Opcionalmente poderíamos combinar os logaritmos num único logaritmo como \ln\!\bigl(\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}\bigr), mas a forma separada é clara e direta para uso em prova.

Resposta

\ln\bigl(x^2+1\bigr)+\arctan(x)-2\ln\lvert x-1\rvert-\frac{1}{x-1}+C

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