O integrando é a função racional \dfrac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}.
O denominador tem um fator quadrático \(x^{2}+1) (que é irredutível sobre os reais) e um fator linear repetido \(x-1^{2}).
Não há outras condições dadas (domínio, etc.). A integral indefinida pede uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática):
Para integrar uma função racional cujo numerador tem grau menor que o denominador, uma técnica prática e padrão é a decomposição em frações parciais: escrever a função como soma de frações mais simples cuja primitiva conhecemos.
Para cada fator irreduzível linear (x-a) repetido de multiplicidade k usamos termos \dfrac{C_1}{x-a}+\dfrac{C_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{C_k}{(x-a)^k}.
Para um fator quadrático irreduzível do tipo x^2+1 usamos um numerador linear Ax+B sobre esse fator.
Aplicando isso aqui, propomos a decomposição
Vou tratar cada integral separadamente e explicar a ideia por trás de cada uma:
Para \displaystyle \int\frac{2x}{x^2+1}\,dx: a substituição natural é u=x^2+1, porque du=2x\,dx. Logo \displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln\bigl(x^2+1\bigr). (Mais precisamente \ln\lvert x^2+1\rvert, mas x^2+1>0 sempre, então escrevo \ln(x^2+1).)
Para \displaystyle \int\frac{1}{x^2+1}\,dx: é a primitiva clássica \arctan(x).
Juntando essas duas partes:
Opcionalmente poderíamos combinar os logaritmos num único logaritmo como \ln\!\bigl(\dfrac{x^2+1}{(x-1)^2}\bigr), mas a forma separada é clara e direta para uso em prova.