Escreva as duas definições equivalentes da derivada de uma função real
em um número
.
Depois disso, calcule pela definição, a derivada de
aplicada no ponto
.
Depois disso, calcule pela definição, a derivada de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) escrever as duas definições equivalentes da derivada de uma função real
em um número
; (b) calcular, usando a definição, a derivada de
no ponto
.
Informações dadas: a função e o ponto
. Não usaremos cálculo pronto — faremos pela definição (limite do quociente incremental).
Informações dadas: a função
Passo 2
Primeira definição (forma com
). A derivada de
em
é o limite, quando existir,
Explicação didática: aqui
representa um pequeno incremento na variável
. O numerador
é a variação do valor da função quando
passa de
para
. Dividindo por
obtemos a taxa média de variação nesse intervalo; ao fazer
obtemos a taxa instantânea (a derivada). Cada símbolo:
é a derivada (ou taxa de variação instantânea) de
no ponto
;
é um número real que tende a zero.
Passo 3
Segunda definição (forma com
). A derivada de
em
é também dada por
Explicação didática: aqui usamos diretamente uma variável
que se aproxima de
. O quociente
é a mesma taxa média de variação entre
e
; ao fazer
obtemos a taxa instantânea. As duas formas são equivalentes porque, se fazemos a substituição
, temos
e o quociente da segunda forma vira exatamente o da primeira.
Passo 4
Escolha do método para calcular
. Para calcular a derivada de
em
é conveniente usar a forma com
(Passo 2), pois facilita desenvolver algebricamente o numerador e simplificar antes de tomar o limite.
Passo 5
Escrevendo o quociente incremental para
em um ponto genérico
:
Agora desenvolvo
. Lembre que
. Aplicando com
e
,
Passo 6
Substituo a expansão no quociente e simplifico passo a passo:
Cancelar
:
Fatoro
no numerador:
Como
no quociente (antes de tomar o limite) podemos cancelar
, obtendo
Passo 7
Agora tomo o limite quando
. Pela continuidade da função afim
em
, temos
Explicação didática: ao cancelar
fizemos a simplificação algébrica que removeu a indeterminação
; restou uma expressão que é fácil de avaliar no limite.
Passo 8
Finalmente substituo
para obter a derivada no ponto pedido:
Interpretação rápida: o valor
é a taxa instantânea de variação de
em
, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.