Escreva as duas definições equivalentes da derivada de uma função real f em um número p.
Depois disso, calcule pela definição, a derivada de f(x)=x^{2} aplicada no ponto p=4.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) escrever as duas definições equivalentes da derivada de uma função real f em um número p; (b) calcular, usando a definição, a derivada de f(x)=x^{2} no ponto p=4.
Informações dadas: a função f(x)=x^{2} e o ponto p=4. Não usaremos cálculo pronto — faremos pela definição (limite do quociente incremental).

Passo 2

Primeira definição (forma com h). A derivada de f em p é o limite, quando existir,
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.
Explicação didática: aqui h representa um pequeno incremento na variável x. O numerador f(p+h)-f(p) é a variação do valor da função quando x passa de p para p+h. Dividindo por h obtemos a taxa média de variação nesse intervalo; ao fazer h\to 0 obtemos a taxa instantânea (a derivada). Cada símbolo: f'(p) é a derivada (ou taxa de variação instantânea) de f no ponto p; h é um número real que tende a zero.

Passo 3

Segunda definição (forma com x\to p). A derivada de f em p é também dada por
f'(p)=\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}.
Explicação didática: aqui usamos diretamente uma variável x que se aproxima de p. O quociente \frac{f(x)-f(p)}{x-p} é a mesma taxa média de variação entre p e x; ao fazer x\to p obtemos a taxa instantânea. As duas formas são equivalentes porque, se fazemos a substituição h=x-p, temos x=p+h e o quociente da segunda forma vira exatamente o da primeira.

Passo 4

Escolha do método para calcular f'(4). Para calcular a derivada de f(x)=x^{2} em p=4 é conveniente usar a forma com h (Passo 2), pois facilita desenvolver algebricamente o numerador e simplificar antes de tomar o limite.

Passo 5

Escrevendo o quociente incremental para f(x)=x^{2} em um ponto genérico p:
\frac{f(p+h)-f(p)}{h}=\frac{(p+h)^{2}-p^{2}}{h}.
Agora desenvolvo (p+h)^{2}. Lembre que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=p e b=h,
(p+h)^{2}=p^{2}+2ph+h^{2}.

Passo 6

Substituo a expansão no quociente e simplifico passo a passo:
\frac{(p+h)^{2}-p^{2}}{h}=\frac{p^{2}+2ph+h^{2}-p^{2}}{h}.
Cancelar p^{2}:
\frac{2ph+h^{2}}{h}.
Fatoro h no numerador:
\frac{h(2p+h)}{h}.
Como h\neq 0 no quociente (antes de tomar o limite) podemos cancelar h, obtendo
2p+h.

Passo 7

Agora tomo o limite quando h\to 0. Pela continuidade da função afim h\mapsto 2p+h em h, temos
f'(p)=\lim_{h\to 0}(2p+h)=2p+0=2p.
Explicação didática: ao cancelar h fizemos a simplificação algébrica que removeu a indeterminação 0/0; restou uma expressão que é fácil de avaliar no limite.

Passo 8

Finalmente substituo p=4 para obter a derivada no ponto pedido:
f'(4)=2\cdot 4=8.
Interpretação rápida: o valor 8 é a taxa instantânea de variação de f(x)=x^{2} em x=4, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (4,f(4))=(4,16).

Resposta

\displaystyle f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} e \displaystyle f'(p)=\lim_{x\to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}.
\displaystyle f'(4)=8.

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