Resolva a integral a seguir, utilizando o método de integração para raízes com a >0.
\int \frac{1}{(x+4) \sqrt{x^{2}+4 x+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{1}{(x+4)\sqrt{x^{2}+4x+9}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando }=\frac{1}{(x+4)\sqrt{x^{2}+4x+9}}.
Não há outros dados; nosso objetivo é encontrar uma primitiva dessa função.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: completar o quadrado dentro da raiz para reconhecer a forma \sqrt{u^{2}+a^{2}}. Temos
x^{2}+4x+9=(x+2)^{2}+5.
Aqui identificamos u=x+2 e a=\sqrt{5}>0. Isso mostra que a raiz é do tipo \sqrt{u^{2}+a^{2}}, o que sugere a substituição trigonométrica adequada.

Passo 3

Explico por que usar a substituição trigonométrica: para integrar expressões com \sqrt{u^{2}+a^{2}} (com a>0) é comum usar
u=a\tan t,
porque então
\sqrt{u^{2}+a^{2}}=a\operatorname{sec} t
e as funções trigonométricas simplificam a expressão sob a raiz. Aqui escolhemos
x+2=\sqrt{5}\tan t.
Significados: \tan t é a tangente do ângulo t; substituímos a expressão linear em x por \sqrt{5}\tan t para transformar a raiz em produto de a por \operatorname{sec} t.

Passo 4

Calculamos dx e as expressões trigonométricas necessárias. Da substituição,
dx=\sqrt{5}\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Também,
\sqrt{x^{2}+4x+9}=\sqrt{(x+2)^{2}+5}=\sqrt{5}\operatorname{sec} t.
O fator (x+4) expressa-se como
x+4=(x+2)+2=\sqrt{5}\tan t+2.
Agora substituímos tudo na integral:
\int \frac{1}{(x+4)\sqrt{x^{2}+4x+9}}\,dx = \int \frac{\sqrt{5}\operatorname{sec}^{2}t}{(\sqrt{5}\tan t+2)\cdot \sqrt{5}\operatorname{sec} t}\,dt.
Simplificando os \sqrt{5} e um fator \operatorname{sec} t,
= \int \frac{\operatorname{sec} t}{\sqrt{5}\tan t+2}\,dt = \int \frac{\operatorname{sec} t}{2+\sqrt{5}\tan t}\,dt.

Passo 5

Converter a expressão para forma mais manejável: escrevemos em seno e cosseno:
\frac{\operatorname{sec} t}{2+\sqrt{5}\tan t}=\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{1}{2+\sqrt{5}\frac{\sin t}{\cos t}} =\frac{1}{2\cos t+\sqrt{5}\sin t}.
Logo a integral virou
\int \frac{dt}{2\cos t+\sqrt{5}\sin t}.
Para integrar uma função da forma \dfrac{1}{a\cos t+b\sin t} é conveniente escrever a\cos t+b\sin t como R\cos(t-\varphi), com
R=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \cos\varphi=\frac{a}{R},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{R}.
Aqui a=2, b=\sqrt{5}, então
R=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{4+5}=3.
Tomamos \varphi tal que
\cos\varphi=\frac{2}{3},\qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Assim
2\cos t+\sqrt{5}\sin t=3\cos(t-\varphi).

Passo 6

Usamos a identidade encontrada na integral:
\int \frac{dt}{2\cos t+\sqrt{5}\sin t} = \int \frac{dt}{3\cos(t-\varphi)} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sec}(t-\varphi)\,dt.
Sabemos (fórmula padrão) que
\int \operatorname{sec} u\,du=\ln\bigl|\operatorname{sec} u+\tan u\bigr|+C.
Aplicando com u=t-\varphi,
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}(t-\varphi)\,dt=\frac{1}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}(t-\varphi)+\tan(t-\varphi)\bigr|+C.

Passo 7

Agora voltamos às variáveis em x. Lembramos que
\tan t=\frac{x+2}{\sqrt{5}},\qquad \sin t=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x+9}},\qquad \cos t=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}.
Precisamos de \tan(t-\varphi) e \operatorname{sec}(t-\varphi). Usamos a fórmula da tangente da diferença:
\tan(t-\varphi)=\frac{\tan t-\tan\varphi}{1+\tan t\tan\varphi}.
Como \tan\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{\sqrt{5}/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}, temos
\tan(t-\varphi) =\frac{\dfrac{x+2}{\sqrt{5}}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{1+\dfrac{x+2}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}} =\frac{\dfrac{2(x+2)-5}{2\sqrt{5}}}{\dfrac{x+4}{2}} =\frac{2x-1}{\sqrt{5}\,(x+4)}.

Passo 8

Usamos a identidade \operatorname{sec}^{2}=\,1+\tan^{2} para obter \operatorname{sec}(t-\varphi):
\operatorname{sec}(t-\varphi)=\sqrt{1+\tan^{2}(t-\varphi)} =\sqrt{1+\left(\frac{2x-1}{\sqrt{5}\,(x+4)}\right)^{2}}.
Calculando o radicando:
1+\frac{(2x-1)^{2}}{5(x+4)^{2}} =\frac{5(x+4)^{2}+(2x-1)^{2}}{5(x+4)^{2}} =\frac{9(x^{2}+4x+9)}{5(x+4)^{2}}.
Portanto
\operatorname{sec}(t-\varphi)=\frac{3\sqrt{x^{2}+4x+9}}{\sqrt{5}\,|x+4|}.
Agora somamos \operatorname{sec}(t-\varphi)+\tan(t-\varphi):
\operatorname{sec}(t-\varphi)+\tan(t-\varphi) =\frac{3\sqrt{x^{2}+4x+9}}{\sqrt{5}\,|x+4|}+\frac{2x-1}{\sqrt{5}\,(x+4)}.
Multiplicando numerador e denominador convenientemente (observando o sinal via valor absoluto), chegamos à forma simplificada dentro do logaritmo:
\operatorname{sec}(t-\varphi)+\tan(t-\varphi) =\frac{3\sqrt{x^{2}+4x+9}+2x-1}{\sqrt{5}\,(x+4)}\cdot \operatorname{sgn}(x+4).
Ao colocar no logaritmo com módulo, o fator \operatorname{sgn}(x+4) é absorvido pelo valor absoluto, e o fator constante \sqrt{5} pode ser incorporado na constante de integração. Assim a primitiva fica, até constante aditiva,
\frac{1}{3}\ln\left|\frac{3\sqrt{x^{2}+4x+9}+2x-1}{x+4}\right|+C.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\left|\frac{3\sqrt{x^{2}+4x+9}+2x-1}{x+4}\right|+C

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