Não há outros dados; nosso objetivo é encontrar uma primitiva dessa função.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: completar o quadrado dentro da raiz para reconhecer a forma \sqrt{u^{2}+a^{2}}. Temos
x^{2}+4x+9=(x+2)^{2}+5.
Aqui identificamos u=x+2 e a=\sqrt{5}>0. Isso mostra que a raiz é do tipo \sqrt{u^{2}+a^{2}}, o que sugere a substituição trigonométrica adequada.
Passo 3
Explico por que usar a substituição trigonométrica: para integrar expressões com \sqrt{u^{2}+a^{2}} (com a>0) é comum usar
u=a\tan t,
porque então
\sqrt{u^{2}+a^{2}}=a\operatorname{sec} t
e as funções trigonométricas simplificam a expressão sob a raiz. Aqui escolhemos
x+2=\sqrt{5}\tan t.
Significados: \tan t é a tangente do ângulo t; substituímos a expressão linear em x por \sqrt{5}\tan t para transformar a raiz em produto de a por \operatorname{sec} t.
Passo 4
Calculamos dx e as expressões trigonométricas necessárias. Da substituição,
dx=\sqrt{5}\operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Também,
\sqrt{x^{2}+4x+9}=\sqrt{(x+2)^{2}+5}=\sqrt{5}\operatorname{sec} t.
Ao colocar no logaritmo com módulo, o fator \operatorname{sgn}(x+4) é absorvido pelo valor absoluto, e o fator constante \sqrt{5} pode ser incorporado na constante de integração. Assim a primitiva fica, até constante aditiva,