Resolva a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
- A função integrada é
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão
tal que . - Podemos usar constantes de integração
no final.
Passo 2
Observação inicial (motivação da escolha de técnica): nota-se que a soma
aparece dentro do quadrado. Uma técnica comum é tentar a substituição
porque a derivada de
envolve
, ou seja, contém exatamente um fator
. Agora calculamos o diferencial dessa substituição.
Passo 3
Calcular
. Derivando
obtemos
Dessa igualdade isolamos
:
Passo 4
Transformar a integral em variável
. Substituímos
e
pela expressão acima:
Como
, isto fica
Precisamos agora escrever
em função de
.
Passo 5
Expressar
em função de
. Começamos com a identidade trigonométrica
que é equivalente a
Como
, temos
Somando as duas expressões
e
obtemos
Portanto
Tomando recíproco para obter
,
Passo 6
Substituir
na integral em
. Temos
Agora simplificamos a fração algébrica:
logo
Passo 7
Integrar em
. Integramos termo a termo:
Como havia um sinal negativo no integrando, juntando os resultados obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltar à variável
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é uma primitiva da função dada.
Passo 9
Verificação rápida (checada mental): a substituição foi legal e todas as transformações algébricas foram equivalentes; a derivada da primitiva encontrada devolve
, portanto a expressão está correta. Respire fundo — tá feito!