Resolva a integral \int(\operatorname{tg} x+\operatorname{sec} x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (\tan x + \operatorname{sec} x)^{2}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integrada é (\tan x+\operatorname{sec} x)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) desta função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=(\tan x+\operatorname{sec} x)^{2}.
  • Podemos usar constantes de integração +C no final.

Passo 2

Observação inicial (motivação da escolha de técnica): nota-se que a soma \operatorname{sec} x+\tan x aparece dentro do quadrado. Uma técnica comum é tentar a substituição
t=\operatorname{sec} x+\tan x,
porque a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x envolve \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x), ou seja, contém exatamente um fator \operatorname{sec} x+\tan x. Agora calculamos o diferencial dessa substituição.

Passo 3

Calcular dt. Derivando t=\operatorname{sec} x+\tan x obtemos
dt=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^{2}x)\,dx=\operatorname{sec} x(\tan x+\operatorname{sec} x)\,dx=\operatorname{sec} x\;t\,dx.
Dessa igualdade isolamos dx:
dx=\frac{dt}{\operatorname{sec} x\;t}.

Passo 4

Transformar a integral em variável t. Substituímos (\tan x+\operatorname{sec} x)^{2}=t^{2} e dx pela expressão acima:
\int (\tan x+\operatorname{sec} x)^{2}\,dx=\int t^{2}\cdot\frac{dt}{\operatorname{sec} x\;t}=\int \frac{t^{2}}{t}\cdot\frac{dt}{\operatorname{sec} x}=\int \frac{t\,dt}{\operatorname{sec} x}.
Como 1/\operatorname{sec} x=\cos x, isto fica
\int t\cos x\,dt.
Precisamos agora escrever \cos x em função de t.

Passo 5

Expressar \cos x em função de t. Começamos com a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x=1,
que é equivalente a
(\operatorname{sec} x+\tan x)(\operatorname{sec} x-\tan x)=1.
Como t=\operatorname{sec} x+\tan x, temos
\operatorname{sec} x-\tan x=\frac{1}{t}.
Somando as duas expressões \operatorname{sec} x+\tan x=t e \operatorname{sec} x-\tan x=\dfrac{1}{t} obtemos
2\operatorname{sec} x=t+\frac{1}{t}=\frac{t^{2}+1}{t}.
Portanto
\operatorname{sec} x=\frac{t^{2}+1}{2t}.
Tomando recíproco para obter \cos x,
\cos x=\frac{1}{\operatorname{sec} x}=\frac{2t}{t^{2}+1}.

Passo 6

Substituir \cos x na integral em t. Temos
\int t\cos x\,dt=\int t\cdot\frac{2t}{t^{2}+1}\,dt=\int \frac{2t^{2}}{t^{2}+1}\,dt.
Agora simplificamos a fração algébrica:
\frac{t^{2}}{t^{2}+1}=1-\frac{1}{t^{2}+1},
logo
\int \frac{2t^{2}}{t^{2}+1}\,dt=2\int\left(1-\frac{1}{t^{2}+1}\right)\,dt.

Passo 7

Integrar em t. Integramos termo a termo:
2\int 1\,dt=2t,
2\int \frac{1}{t^{2}+1}\,dt=2\arctan t.
Como havia um sinal negativo no integrando, juntando os resultados obtemos
2\int\left(1-\frac{1}{t^{2}+1}\right)\,dt=2t-2\arctan t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltar à variável x. Lembrando que t=\operatorname{sec} x+\tan x, substituímos de volta:
2t-2\arctan t + C = 2(\operatorname{sec} x+\tan x)-2\arctan(\operatorname{sec} x+\tan x) + C.
Essa é uma primitiva da função dada.

Passo 9

Verificação rápida (checada mental): a substituição foi legal e todas as transformações algébricas foram equivalentes; a derivada da primitiva encontrada devolve (\tan x+\operatorname{sec} x)^{2}, portanto a expressão está correta. Respire fundo — tá feito!

Resposta

2(\operatorname{sec} x+\tan x)-2\arctan(\operatorname{sec} x+\tan x)+C

Exercícios relacionados