Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(m)
(m)
Passo 1
Enunciado: calcular
.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
Informações importantes dadas pelo enunciado:
Ao observar o comportamento quando
:
então a expressão está na forma indeterminada
. Vamos transformar essa forma para poder calcular o limite.
Passo 2
Defino o limite procurado como
Como, para
grande, tanto
quanto
são positivos, a base é positiva e podemos aplicar a função logaritmo natural sem problemas. Tomando logaritmo:
Agora temos um produto do tipo
(porque
), que é uma forma indeterminada tratável.
Passo 3
Para usar a Regra de L’Hôpital transformamos o produto em quociente:
Aqui o numerador tende a
e o denominador tende a
, logo temos uma forma
e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador em relação a
).
Passo 4
Calculo as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Pela Regra de L’Hôpital:
Simplifico factor
e a diferença no numerador:
Substituindo e cancelando o
do denominador:
Agora calculo o limite assintótico: para
cada fator quadrático se comporta como
, então a razão tende a
. Portanto
Passo 5
Como
, exponentio para obter
:
Como verificação rápida (intuição): escrevendo
e usando
quando
, chega-se ao mesmo resultado
.