Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(m) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x-3}{2 x+5}\right)^{2 x+1}

Passo 1

Enunciado: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\text{base}=\frac{2x-3}{2x+5},\qquad \text{expoente}=2x+1.
Ao observar o comportamento quando x\to\infty:
\frac{2x-3}{2x+5}\to 1\quad\text{e}\quad 2x+1\to\infty,
então a expressão está na forma indeterminada (1)^{\infty}. Vamos transformar essa forma para poder calcular o limite.

Passo 2

Defino o limite procurado como
L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)^{2x+1}.
Como, para x grande, tanto 2x-3 quanto 2x+5 são positivos, a base é positiva e podemos aplicar a função logaritmo natural sem problemas. Tomando logaritmo:
\ln L=\lim_{x\to\infty}(2x+1)\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right).
Agora temos um produto do tipo \infty\cdot 0 (porque \ln\!\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)\to 0), que é uma forma indeterminada tratável.

Passo 3

Para usar a Regra de L’Hôpital transformamos o produto em quociente:
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)}{\dfrac{1}{2x+1}}.
Aqui o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0, logo temos uma forma \tfrac{0}{0} e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador em relação a x).

Passo 4

Calculo as derivadas:
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x+5}\right)\right] =\frac{d}{dx}[\ln(2x-3)-\ln(2x+5)] =\frac{2}{2x-3}-\frac{2}{2x+5}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2x+1}\right]=-\frac{2}{(2x+1)^2}.
Pela Regra de L’Hôpital:
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{2}{2x-3}-\dfrac{2}{2x+5}}{-\dfrac{2}{(2x+1)^2}}.
Simplifico factor 2 e a diferença no numerador:
\frac{2}{2x-3}-\frac{2}{2x+5} =2\cdot\frac{(2x+5)-(2x-3)}{(2x-3)(2x+5)} =2\cdot\frac{8}{(2x-3)(2x+5)} =\frac{16}{(2x-3)(2x+5)}.
Substituindo e cancelando o 2 do denominador:
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{16}{(2x-3)(2x+5)}}{-\dfrac{2}{(2x+1)^2}} = \lim_{x\to\infty} -8\cdot\frac{(2x+1)^2}{(2x-3)(2x+5)}.
Agora calculo o limite assintótico: para x\to\infty cada fator quadrático se comporta como (2x)^2, então a razão tende a 1. Portanto
\ln L = -8.

Passo 5

Como \ln L=-8, exponentio para obter L:
L=e^{-8}.
Como verificação rápida (intuição): escrevendo \frac{2x-3}{2x+5}=1-\dfrac{8}{2x+5} e usando \ln(1+u)\sim u quando u\to 0, chega-se ao mesmo resultado \ln L\to -8.

Resposta

e^{-8}

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