Salende que \int_{0}^{3} x d x=\frac{9}{2}, calcule:
\int_{0}^{3}(5+2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{3}(5+2x)\,dx
e nos dá a informação já conhecida
\int_{0}^{3} x\,dx = \frac{9}{2}.
Lista de informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) deseja-se } \int_{0}^{3}(5+2x)\,dx,
\text{(ii) sabemos que } \int_{0}^{3} x\,dx = \frac{9}{2}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e poderosa das integrais: a linearidade. Ela diz que, para funções f e g integráveis em [a,b] e números reais \alpha e \beta,
\int_{a}^{b} \big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)\,dx.
Aqui \alpha e \beta são constantes (números), f(x) e g(x) são funções; a propriedade permite “distribuir” a integral sobre soma e tirar constantes para fora.

Passo 3

Outra propriedade útil: a integral de uma função constante c em [a,b] é simplesmente a área de um retângulo de altura c e base (b-a). Ou seja,
\int_{a}^{b} c\,dx = c\,(b-a).
No nosso caso a função constante é 5, o intervalo é [0,3], então essa fórmula será usada para calcular \int_{0}^{3}5\,dx.

Passo 4

Aplicando a linearidade ao integrando (5+2x) obtemos
\int_{0}^{3}(5+2x)\,dx = \int_{0}^{3}5\,dx + \int_{0}^{3}2x\,dx.
Usando que podemos tirar a constante 2 para fora da integral,
\int_{0}^{3}2x\,dx = 2\int_{0}^{3}x\,dx.
Portanto temos a decomposição
\int_{0}^{3}(5+2x)\,dx = \int_{0}^{3}5\,dx + 2\int_{0}^{3}x\,dx.

Passo 5

Calculemos a primeira parcela usando a propriedade da integral de constante:
\int_{0}^{3}5\,dx = 5\,(3-0) = 15.
Expliquei antes: é a área do retângulo de base 3 e altura 5.

Passo 6

Para a segunda parcela usamos a informação dada no enunciado:
2\int_{0}^{3}x\,dx = 2\cdot\frac{9}{2} = 9.
Aqui só multiplicamos o valor conhecido por 2.

Passo 7

Somando as parcelas obtidas:
\int_{0}^{3}(5+2x)\,dx = 15 + 9 = 24.

Resposta

24

Exercícios relacionados