Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
b) O que ocorre nos extremos do domínio da função;
f(x)=x^{3}-3 x \quad g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3} \\\ h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad p(x)=e^{1-x^{2}}

Passo 1

Estamos analisando o comportamento nos extremos do domínio (isto é, para x\to\pm\infty ou perto de pontos em que a função deixa de estar definida) das quatro funções abaixo. O conteúdo principal usado aqui é o cálculo de limites para identificar se a função vai a \pm\infty (vertical ou oblíquas) ou a algum valor finito (horizontal).

Passo 2

Para f(x)=x^{3}-3x o termo dominante em módulo para \lvert x\rvert grande é x^3. Logo,
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Não há assíntotas verticais nem horizontais: o gráfico cresce como um cúbico standard.

Passo 3

Em g(x)=12-3x^{2}-2x^{3} o termo de maior grau também é cúbico, agora com coeficiente -2. Assim,
\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty,
\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty.
Novamente não há assíntotas verticais, e não há assíntota horizontal, pois o termo -2x^3 domina.

Passo 4

Para h(x)=\frac{1}{1-x^{2}} o domínio é \mathbb R\setminus\{\pm1\}. Temos duas situações de assíntota vertical em x=\pm1:
\lim_{x\to1^-}h(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}h(x)=-\infty,
\lim_{x\to(-1)^+}h(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to(-1)^-}h(x)=-\infty.
Para x\to\pm\infty, 1-x^2\sim -x^2, de modo que
\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=0^-.
Isto indica uma assíntota horizontal y=0, aproximando-se sempre por baixo.

Passo 5

Na função p(x)=e^{1-x^{2}} o domínio é todo \mathbb R e não há pontos excluídos. Para x\to\pm\infty o expoente 1-x^2\to-\infty, então
\lim_{x\to\pm\infty}p(x)=0^+.
Isso significa que o gráfico tem assíntota horizontal y=0 por cima. Não há assíntotas verticais.

Resposta

f) \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
g) \lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty, \lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty.
h) Assíntotas verticais em x=\pm1 com sinais trocados de cada lado; assíntota horizontal y=0 (por baixo), pois \lim_{x\to\pm\infty}h(x)=0^-.
p) Assíntota horizontal y=0 (por cima), pois \lim_{x\to\pm\infty}p(x)=0^+.

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