1. Calcule a integral \int_{1}^{3} \int_{0}^{2} \frac{e^{x+y}}{\sqrt{x}} d y d x utilizando a regra do 1 / 3 de Simpson m=2;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral dupla
\int_{1}^{3}\int_{0}^{2}\frac{e^{x+y}}{\sqrt{x}}\,dy\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 com m=2 subdivisões em cada direção. Vamos aplicar a regra composta de Simpson nos dois eixos, calculando uma soma ponderada dos valores de f(x,y)=e^{x+y}/\sqrt{x} em uma malha 3\times3.

Passo 2

Dividimos o intervalo em x de 1 a 3 e em y de 0 a 2 em m=2 subintervalos cada um. Assim:
h_x=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_0=1,\;x_1=2,\;x_2=3,
h_y=\frac{2-0}{2}=1,\quad y_0=0,\;y_1=1,\;y_2=2.
Na regra composta de Simpson dupla, o peso total é
\frac{h_x\,h_y}{9} \sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2}w_i\,w_j\,f(x_i,y_j),
onde w_0=w_2=1 e w_1=4.

Passo 3

Calculamos f(x_i,y_j)=e^{x_i+y_j}/\sqrt{x_i} em cada nó: x_0=1: \;f(1,0)=e^{1+0}/\sqrt{1}=e, \;f(1,1)=e^{1+1}/1=e^2, \;f(1,2)=e^{1+2}/1=e^3. x_1=2: \;f(2,0)=e^{2+0}/\sqrt{2}=\tfrac{e^2}{\sqrt2}, \;f(2,1)=e^{2+1}/\sqrt{2}=\tfrac{e^3}{\sqrt2}, \;f(2,2)=e^{2+2}/\sqrt{2}=\tfrac{e^4}{\sqrt2}. x_2=3: \;f(3,0)=e^{3+0}/\sqrt{3}=\tfrac{e^3}{\sqrt3}, \;f(3,1)=e^{3+1}/\sqrt{3}=\tfrac{e^4}{\sqrt3}, \;f(3,2)=e^{3+2}/\sqrt{3}=\tfrac{e^5}{\sqrt3}.

Passo 4

Montamos a soma ponderada
S = \begin{aligned}[t] &1\cdot f(1,0)+4\cdot f(1,1)+1\cdot f(1,2)\\\ &+4\cdot f(2,0)+16\cdot f(2,1)+4\cdot f(2,2)\\\ &+1\cdot f(3,0)+4\cdot f(3,1)+1\cdot f(3,2). \end{aligned}
Substituindo os valores:
S=e+4e^2+e^3 +4\frac{e^2}{\sqrt2}+16\frac{e^3}{\sqrt2}+4\frac{e^4}{\sqrt2} +\frac{e^3}{\sqrt3}+4\frac{e^4}{\sqrt3}+\frac{e^5}{\sqrt3}.

Passo 5

A aproximação final é
\int_{1}^{3}\!\int_{0}^{2}\frac{e^{x+y}}{\sqrt{x}}\,dy\,dx \approx \frac{h_x\,h_y}{9}\,S =\frac{1\cdot1}{9}\,S =\frac{S}{9}.
Numericamente,
S\approx678,2705 \quad\Longrightarrow\quad \frac{S}{9}\approx75,3634.

Resposta

\int_{1}^{3}\int_{0}^{2}\frac{e^{x+y}}{\sqrt{x}}\,dy\,dx \approx75,36.

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