Calcule a integral
sendo dados:
-
e
-
e
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede para cada integral.
-
Primeiro problema:
- Campo vetorial:
. - Curva:
, . - Pedido: calcular
para essa curva e campo.
- Campo vetorial:
-
Segundo problema:
- Campo vetorial:
. - Curva:
, . - Pedido: calcular
para essa curva e campo.
- Campo vetorial:
Passo 2
Fórmula geral e ideia para resolver: se a curva é parametrizada por
em
, então a integral de linha do campo vetorial
ao longo de
é
Explicando as partes:
-
é a derivada da parametrização, dá o vetor tangente (velocidade) da curva. -
é o campo avaliado ao longo da curva. - O produto escalar
combina componentes correspondentes (por exemplo, em 3D ).
Portanto o procedimento é: calcular, inserir em , fazer o produto escalar e integrar em no intervalo dado.
Passo 3
Resolver o primeiro problema passo a passo.
- Parametrização:
. - Derivada:
- Avaliar o campo sobre a curva. Como
(somente componente ),
(Observe que peguei
,
,
da parametrização.)
- Produto escalar:
Como só há terceira componente não nula em
, o produto escalar reduz-se a multiplicar as terceiras componentes:
Passo 4
Continuar a resolução do primeiro problema: simplificar e integrar.
- Expandir o integrando:
- Integrar de
a :
- Calcular as primitivas explicitamente:
- Efetuando a soma:
, depois .
Logo o valor da primeira integral é
.
Passo 5
Resolver o segundo problema passo a passo.
- Parametrização:
. - Derivada:
- Avaliar o campo sobre a curva. Como
,
(Aqui peguei
e
da parametrização.)
- Produto escalar:
Passo 6
Integrar o integrando do segundo problema no intervalo
.
Temos que calcular
Vamos integrar termo a termo.
- Primeira parcela:
- Segunda parcela
. Usar integração por partes:
- Escolher
e . Então e . - Pela fórmula
,
Calcule:
e
Portanto
- Terceira parcela
. Usar a identidade ou observar que é derivada de :
(Alternativamente,
em
e
vale
, então integral é
.)
- Somando as parcelas:
Passo 7
Breve verificação e encorajamento: os passos usados foram apenas avaliação do campo na curva, cálculo da derivada da parametrização, produto escalar e integrais usuais (polinômios e integração por partes). Está tudo coerente com as expressões obtidas. Bom trabalho em seguir método — na prova use sempre essa sequência e escreva cada etapa para ganhar precisão.