Calcule a integral \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo dados:
  • \vec{F}(x, y, z)=(x+y+z) \vec{k} \quad e \quad \gamma(t)=\left(t, t, 1-t^{2}\right), \quad 0 \leq t \leq 1
  • \vec{F}(x, y)=x^{2} \vec{i}+(x-y) \vec{j} e \gamma(t)=(t, \sin t), \quad 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede para cada integral.
  • Primeiro problema:
    • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=(x+y+z)\,\vec{k}.
    • Curva: \gamma(t)=\bigl(t,t,1-t^{2}\bigr), \;0\le t\le 1.
    • Pedido: calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} para essa curva e campo.
  • Segundo problema:
    • Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=x^{2}\,\vec{i}+(x-y)\,\vec{j}.
    • Curva: \gamma(t)=(t,\sin t), \;0\le t\le \pi.
    • Pedido: calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r} para essa curva e campo.

Passo 2

Fórmula geral e ideia para resolver: se a curva é parametrizada por \vec{r}(t) em a\le t\le b, então a integral de linha do campo vetorial \vec{F} ao longo de \gamma é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando as partes:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização, dá o vetor tangente (velocidade) da curva.
  • \vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) é o campo avaliado ao longo da curva.
  • O produto escalar \cdot combina componentes correspondentes (por exemplo, em 3D (A_1,A_2,A_3)\cdot(B_1,B_2,B_3)=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3).
    Portanto o procedimento é: calcular \vec{r}\,'(t), inserir \vec{r}(t) em \vec{F}, fazer o produto escalar e integrar em t no intervalo dado.

Passo 3

Resolver o primeiro problema passo a passo.
  • Parametrização: \vec{r}(t)=\bigl(t,t,1-t^{2}\bigr).
  • Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,1,-2t\bigr).
  • Avaliar o campo sobre a curva. Como \vec{F}(x,y,z)=(0,0,x+y+z) (somente componente \vec{k}),
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(0,0,t+t+(1-t^{2})\bigr)=\bigl(0,0,2t+1-t^{2}\bigr).
(Observe que peguei x=t, y=t, z=1-t^{2} da parametrização.)
  • Produto escalar:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t) =(0,0,2t+1-t^{2})\cdot(1,1,-2t).
Como só há terceira componente não nula em \vec{F}, o produto escalar reduz-se a multiplicar as terceiras componentes:
(2t+1-t^{2})\cdot(-2t)=-2t(2t+1-t^{2}).

Passo 4

Continuar a resolução do primeiro problema: simplificar e integrar.
  • Expandir o integrando:
-2t(2t+1-t^{2})=-4t^{2}-2t+2t^{3}=2t^{3}-4t^{2}-2t.
  • Integrar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2t^{3}-4t^{2}-2t\bigr)\,dt = \left[\tfrac{2}{4}t^{4}-\tfrac{4}{3}t^{3}-\tfrac{2}{2}t^{2}\right]_{0}^{1}.
  • Calcular as primitivas explicitamente:
\left[\tfrac{1}{2}t^{4}-\tfrac{4}{3}t^{3}-t^{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{4}{3}-1.
  • Efetuando a soma: \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}, depois -\tfrac{1}{2}-\tfrac{4}{3}=-\dfrac{11}{6}.
Logo o valor da primeira integral é -\dfrac{11}{6}.

Passo 5

Resolver o segundo problema passo a passo.
  • Parametrização: \vec{r}(t)=(t,\sin t).
  • Derivada:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\cos t\bigr).
  • Avaliar o campo sobre a curva. Como \vec{F}(x,y)=\bigl(x^{2},\,x-y\bigr),
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)=\bigl(t^{2},\,t-\sin t\bigr).
(Aqui peguei x=t e y=\sin t da parametrização.)
  • Produto escalar:
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot \vec{r}\,'(t) =t^{2}\cdot 1+(t-\sin t)\cdot \cos t = t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t.

Passo 6

Integrar o integrando do segundo problema no intervalo [0,\pi].
Temos que calcular
\int_{0}^{\pi}\bigl(t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Vamos integrar termo a termo.
  1. Primeira parcela:
\int_{0}^{\pi} t^{2}\,dt=\left[\tfrac{1}{3}t^{3}\right]_{0}^{\pi}=\tfrac{\pi^{3}}{3}.
  1. Segunda parcela \int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt. Usar integração por partes:
  • Escolher u=t e dv=\cos t\,dt. Então du=dt e v=\sin t.
  • Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt=\bigl[t\sin t\bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt.
Calcule:
\bigl[t\sin t\bigr]_{0}^{\pi}=\pi\sin\pi-0\cdot\sin 0=0,
e
\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Portanto
\int_{0}^{\pi} t\cos t\,dt=0-2=-2.
  1. Terceira parcela \int_{0}^{\pi}\sin t\cos t\,dt. Usar a identidade \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t) ou observar que é derivada de \tfrac{1}{2}\sin^{2}t:
\int_{0}^{\pi}\sin t\cos t\,dt=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt =\tfrac{1}{2}\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{\pi} =-\tfrac{1}{4}\bigl(\cos(2\pi)-\cos 0\bigr)= -\tfrac{1}{4}(1-1)=0.
(Alternativamente, \sin^{2}t em 0 e \pi vale 0, então integral é 0.)
  1. Somando as parcelas:
\int_{0}^{\pi}\bigl(t^{2}+t\cos t-\sin t\cos t\bigr)\,dt = \tfrac{\pi^{3}}{3}+(-2)-0=\tfrac{\pi^{3}}{3}-2.

Passo 7

Breve verificação e encorajamento: os passos usados foram apenas avaliação do campo na curva, cálculo da derivada da parametrização, produto escalar e integrais usuais (polinômios e integração por partes). Está tudo coerente com as expressões obtidas. Bom trabalho em seguir método — na prova use sempre essa sequência e escreva cada etapa para ganhar precisão.

Resposta

-\dfrac{11}{6}
\dfrac{\pi^{3}}{3}-2

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