Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por \vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+x \vec{j}+z \vec{k}. Calcule o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b) sendo dados
  • \gamma(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad a=0 e b=2 \pi
  • \gamma(t)=(2 t+1, t-1, t), \quad a=1 e b=2
  • \gamma(t)=(\cos t, 0, \sin t), \quad a=0 e b=2 \pi

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças e pede o trabalho realizado por esse campo ao longo de cada curva dada. Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
  • Campo de forças: \vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + x\,\vec{j} + z\,\vec{k}.
  • Três curvas parametrizadas com seus intervalos:
    • Curva 1: \gamma(t) = (\cos t,\; \sin t,\; t),\quad a=0,\\ b=2\pi.
    • Curva 2: \gamma(t) = (2t+1,\; t-1,\; t),\quad a=1,\\ b=2.
    • Curva 3: \gamma(t) = (\cos t,\; 0,\; \sin t),\quad a=0,\\ b=2\pi.
O que é pedido para cada curva: calcular o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b).

Passo 2

Conceito e método geral (fórmula que vamos aplicar). O trabalho W de um campo de forças \vec{F} ao longo da trajetória parametrizada \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], é a integral de linha
W=\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Aqui:
  • \gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é o vetor velocidade.
  • O produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é a soma P(x,y,z)x'(t)+Q(x,y,z)y'(t)+R(x,y,z)z'(t) quando \vec{F}=(P,Q,R).
Antes de calcular: às vezes um campo é conservativo (tem potencial) e aí o trabalho depende só dos pontos finais. Para verificar isso rapidamente podemos calcular o rotacional (curl) \nabla\times\vec{F}. Se \nabla\times\vec{F}=0 numa região apropriada, o campo é conservativo. Calculando para nosso \vec{F}=(-y,x,z):
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\\ -y & x & z \end{vmatrix} =(0,0,2).
Como \nabla\times\vec{F}=(0,0,2)\neq(0,0,0), o campo não é conservativo. Portanto, o trabalho pode (e vai) depender da trajetória, e precisamos calcular a integral explicitamente para cada curva.

Passo 3

Cálculo para a Curva 1: \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t),\;0\le t\le 2\pi.
  1. Derivada da parametrização:
\gamma'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).
  1. Avaliar \vec{F} ao longo da curva (substituir x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=t):
\vec{F}(\gamma(t)) = (-y,\;x,\;z)=(-\sin t,\;\cos t,\;t).
  1. Produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t):
(-\sin t)(- \sin t) + (\cos t)(\cos t) + t\cdot 1 = \sin^2 t + \cos^2 t + t = 1 + t,
pois \sin^2 t+\cos^2 t=1.
  1. Integral do trabalho:
W_1=\int_{0}^{2\pi} (1+t)\,dt =\bigl[t+\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{0}^{2\pi} =2\pi + \tfrac{(2\pi)^2}{2} =2\pi + 2\pi^2.

Passo 4

Cálculo para a Curva 2: \gamma(t)=(2t+1,\;t-1,\;t),\;1\le t\le 2.
  1. Derivada:
\gamma'(t)=(2,\;1,\;1).
  1. Avaliar \vec{F} ao longo da curva (substituir x=2t+1,\;y=t-1,\;z=t):
\vec{F}(\gamma(t)) = (-(t-1),\;2t+1,\;t)=(1-t,\;2t+1,\;t).
  1. Produto escalar:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)= (1-t)\cdot 2 + (2t+1)\cdot 1 + t\cdot 1.
Calcule passo a passo:
2(1-t)+2t+1+t = 2-2t+2t+1+t = 3 + t.
  1. Integral do trabalho:
W_2=\int_{1}^{2} (3+t)\,dt =\bigl[3t+\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{1}^{2} =\bigl(6+\tfrac{4}{2}\bigr)-\bigl(3+\tfrac{1}{2}\bigr) =(6+2)-(3+0,5)=8-3,5=4,5=\tfrac{9}{2}.

Passo 5

Cálculo para a Curva 3: \gamma(t)=(\cos t,\;0,\;\sin t),\;0\le t\le 2\pi.
  1. Derivada:
\gamma'(t)=(-\sin t,\;0,\;\cos t).
  1. Avaliar \vec{F} ao longo da curva (substituir x=\cos t,\;y=0,\;z=\sin t):
\vec{F}(\gamma(t)) = (-0,\;\cos t,\;\sin t)=(0,\;\cos t,\;\sin t).
  1. Produto escalar:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)= 0\cdot(-\sin t) + \cos t\cdot 0 + \sin t\cdot \cos t = \sin t\cos t.
  1. Integral do trabalho:
    Usar identidade \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t):
W_3=\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt =\tfrac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\bigr]_{0}^{2\pi} =-\tfrac{1}{4}(\cos(4\pi)-\cos 0)= -\tfrac{1}{4}(1-1)=0.
Observação rápida: apesar do campo não ser conservativo, para esta curva específica a contribuição ao longo da trajetória é zero — simetria/cancelamento da integral.

Resposta

2\pi + 2\pi^2
\dfrac{9}{2}
0

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