Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por \vec{F}(x, y, z)=-y \vec{i}+x \vec{j}+z \vec{k}. Calcule o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b) sendo dados
\gamma(t)=(\cos t, \sin t, t), \quad a=0 e b=2 \pi
\gamma(t)=(2 t+1, t-1, t), \quad a=1 e b=2
\gamma(t)=(\cos t, 0, \sin t), \quad a=0 e b=2 \pi
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças e pede o trabalho realizado por esse campo ao longo de cada curva dada. Informações fornecidas (copiadas do enunciado):
Campo de forças: \vec{F}(x,y,z) = -y\,\vec{i} + x\,\vec{j} + z\,\vec{k}.
O que é pedido para cada curva: calcular o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b).
Passo 2
Conceito e método geral (fórmula que vamos aplicar). O trabalho W de um campo de forças \vec{F} ao longo da trajetória parametrizada \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], é a integral de linha
\gamma'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) é o vetor velocidade.
O produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) é a soma P(x,y,z)x'(t)+Q(x,y,z)y'(t)+R(x,y,z)z'(t) quando \vec{F}=(P,Q,R).
Antes de calcular: às vezes um campo é conservativo (tem potencial) e aí o trabalho depende só dos pontos finais. Para verificar isso rapidamente podemos calcular o rotacional (curl) \nabla\times\vec{F}. Se \nabla\times\vec{F}=0 numa região apropriada, o campo é conservativo. Calculando para nosso \vec{F}=(-y,x,z):
Como \nabla\times\vec{F}=(0,0,2)\neq(0,0,0), o campo não é conservativo. Portanto, o trabalho pode (e vai) depender da trajetória, e precisamos calcular a integral explicitamente para cada curva.
Passo 3
Cálculo para a Curva 1: \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t),\;0\le t\le 2\pi.
Derivada da parametrização:
\gamma'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1).
Avaliar \vec{F} ao longo da curva (substituir x=\cos t,\;y=\sin t,\;z=t):
Observação rápida: apesar do campo não ser conservativo, para esta curva específica a contribuição ao longo da trajetória é zero — simetria/cancelamento da integral.