Calcule o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de \gamma, onde \vec{F}(x, y)=(x, y) e \gamma(t)=(t,|t|), \quad t \in[-1,1].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y)=(x,y).
  • Curva parametrizada: \gamma(t) = (t,|t|) para t\in[-1,1].
  • Pede: calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao longo de \gamma, isto é o integral de linha
W=\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Observações importantes a notar (sem resolver nada ainda):
  • A curva é dada com valor absoluto, então ela é natural de tratar em duas partes: t<0 e t>0.
  • Em t=0 há um ponto em que a derivada pode não existir (canto), mas isso não impede computar o integral dividindo a curva em dois pedaços suaves.

Passo 2

Fórmula prática para calcular o trabalho (explicando a ideia passo a passo).
  • Se a curva é parametrizada por \gamma(t)=(x(t),y(t)), então o diferencial de arco é d\vec{r}=(x'(t),y'(t))\,dt.
  • O produto escalar que entra no trabalho é \vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t).
  • Portanto, usamos a fórmula
W=\int_{t=a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Aqui a=-1 e b=1. Vou aplicar isso passo a passo, tratando a parte negativa e positiva de t por causa de |t|.

Passo 3

Parametrização nas duas partes e cálculo de \gamma'(t).
  • Para t<0: |t|=-t, então \gamma(t)=(t,-t). A derivada é \gamma'(t)=(1,-1).
  • Para t>0: |t|=t, então \gamma(t)=(t,t). A derivada é \gamma'(t)=(1,1).
  • No ponto isolado t=0 a derivada muda de sinal (canto). Um ponto isolado não altera o valor do integral, então podemos dividir a integral em [-1,0] e [0,1].

Passo 4

Calcular o integrando \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) em cada parte e integrar.
  • Para t<0:
    • \vec{F}(\gamma(t))=(t,-t).
    • Produto escalar: (t,-t)\cdot(1,-1)=t + t = 2t.
  • Para t>0:
    • \vec{F}(\gamma(t))=(t,t).
    • Produto escalar: (t,t)\cdot(1,1)=t + t = 2t.
      Observação: curiosamente o integrando é 2t em ambos os ramos.
Agora o trabalho:
W=\int_{-1}^{0}2t\,dt + \int_{0}^{1}2t\,dt.
Calcule cada integral:
\int 2t\,dt = t^{2},
então
\int_{-1}^{0}2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{-1}^{0}=0-1=-1,
\int_{0}^{1}2t\,dt = \left[t^{2}\right]_{0}^{1}=1-0=1.
Somando:
W = -1 + 1 = 0.

Passo 5

Interpretação alternativa (método do potencial) — serve como checagem e é útil para a prova.
  • Note que \vec{F}(x,y)=(x,y) é gradiente de \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}), porque
\nabla\varphi=(\partial_{x}\varphi,\partial_{y}\varphi)=(x,y)=\vec{F}.
  • Para um campo conservativo (gradiente de uma função \varphi), o trabalho entre dois pontos depende só dos extremos:
W=\varphi(\text{extremo final})-\varphi(\text{extremo inicial}).
  • Os extremos da curva são \gamma(-1)=(-1,1) e \gamma(1)=(1,1). Então
W=\varphi(1,1)-\varphi(-1,1)=\tfrac{1}{2}(1^{2}+1^{2})-\tfrac{1}{2}((-1)^{2}+1^{2})= \tfrac{1}{2}(2)-\tfrac{1}{2}(2)=0,
confirmando o resultado do cálculo direto.

Resposta

0

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