Calcule o trabalho realizado por
ao longo de
, onde
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
- Campo vetorial:
. - Curva parametrizada:
para . - Pede: calcular o trabalho realizado por
ao longo de , isto é o integral de linha
Observações importantes a notar (sem resolver nada ainda):
- A curva é dada com valor absoluto, então ela é natural de tratar em duas partes:
e . - Em
há um ponto em que a derivada pode não existir (canto), mas isso não impede computar o integral dividindo a curva em dois pedaços suaves.
Passo 2
Fórmula prática para calcular o trabalho (explicando a ideia passo a passo).
- Se a curva é parametrizada por
, então o diferencial de arco é . - O produto escalar que entra no trabalho é
. - Portanto, usamos a fórmula
Aqui
e
. Vou aplicar isso passo a passo, tratando a parte negativa e positiva de
por causa de
.
Passo 3
Parametrização nas duas partes e cálculo de
.
- Para
: , então . A derivada é . - Para
: , então . A derivada é . - No ponto isolado
a derivada muda de sinal (canto). Um ponto isolado não altera o valor do integral, então podemos dividir a integral em e .
Passo 4
Calcular o integrando
em cada parte e integrar.
- Para
: -
. - Produto escalar:
.
-
- Para
: -
. - Produto escalar:
.
Observação: curiosamente o integrando éem ambos os ramos.
-
Agora o trabalho:
Calcule cada integral:
então
Somando:
Passo 5
Interpretação alternativa (método do potencial) — serve como checagem e é útil para a prova.
- Note que
é gradiente de , porque
- Para um campo conservativo (gradiente de uma função
), o trabalho entre dois pontos depende só dos extremos:
- Os extremos da curva são
e . Então
confirmando o resultado do cálculo direto.