Considere \gamma uma curva dada pela interseção das seguintes superfícies S_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=2-x^{2}-y^{2}\right\} e S_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: y=x^{2}\right\} e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere z \geq 0.
(a) Parametrize a curva \gamma.
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=(2 x+4 x y, x, 1) ao longo da curva \gamma.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dado o par de superfícies:
    • S_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: z=2-x^{2}-y^{2}\}.
    • S_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: y=x^{2}\}.
  • A curva \gamma é a interseção S_{1}\cap S_{2} e tem a condição adicional z\ge 0.
  • Orientação pedida: a curva é percorrida “da esquerda para direita considerando a origem” — ou seja, no sentido de x aumentando (de valores negativos para positivos).
O enunciado pede duas coisas:
(a) Parametrizar a curva \gamma seguindo a orientação indicada.
(b) Calcular a integral de linha do campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x,y,z)=(2x+4xy,\; x,\; 1) ao longo de \gamma.

Passo 2

Entender geometricamente a interseção e extrair relações entre as coordenadas — isto nos diz como escolher uma parametrização simples.
  • Da superfície S_{2} vem a relação direta entre x e y: y=x^{2}.
  • Substituindo essa relação em S_{1} obtemos z em função de x apenas: z = 2 - x^{2} - y^{2} = 2 - x^{2} - (x^{2})^{2} = 2 - x^{2} - x^{4}.
  • A condição z\ge 0 impõe 2 - x^{2} - x^{4} \ge 0.Para resolver essa desigualdade, faça a troca u=x^{2} (note que u\ge 0). Então 2 - u - u^{2} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u^{2}+u-2 \le 0.As raízes do polinômio u^{2}+u-2 são u=1 e u=-2. Como u\ge 0, a solução real para u é 0\le u\le 1, ou seja 0\le x^{2}\le 1.
  • Portanto x varia em [-1,1]. Isso é consistente com a exigência z\ge 0.

Passo 3

Escolher a parametrização usando x como parâmetro — é o jeito mais direto e simples.
  • Tomamos t para representar x. Então x=t e y=t^{2}.
  • Já calculamos z em função de x, logo em função de t: z(t) = 2 - t^{2} - t^{4}.
  • Como x deve ir da esquerda para a direita, queremos t aumentar de -1 até 1. Assim a parametrização (vetorial) é \mathbf{r}(t) = \bigl(t,\; t^{2},\; 2 - t^{2} - t^{4}\bigr),\qquad t\in[-1,1].
  • Comentário didático: parametrizar pela própria coordenada x é comum quando uma das superfícies já dá y em função de x. Isso torna as derivadas e substituições muito diretas.

Passo 4

Relembrar a fórmula para integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada — e explicar cada termo.
  • Se uma curva \gamma é parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, e temos um campo vetorial \vec{F}(x,y,z), a integral de linha (do tipo trabalho) é \int_{\gamma} \vec{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \vec{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
  • O que significa cada símbolo:
    • \vec{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituir x,y,z por suas expressões em t).
    • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente), e d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.
    • O produto escalar \cdot dá uma função escalar em t que integrarmos de a até b.

Passo 5

Calcular \mathbf{r}'(t) e avaliar o campo \vec{F} ao longo da parametrização.
  • A parametrização é \mathbf{r}(t)=(t,\; t^{2},\; 2-t^{2}-t^{4}). Derivando componente a componente: \mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\; 2t,\; -2t-4t^{3}\bigr).
  • Avaliando \vec{F} em \mathbf{r}(t): lembre que \vec{F}(x,y,z)=(2x+4xy,\; x,\; 1). Substituindo x=t e y=t^{2}, \vec{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=\bigl(2t+4t\cdot t^{2},\; t,\; 1\bigr)=\bigl(2t+4t^{3},\; t,\; 1\bigr).

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) e simplificar antes de integrar — isso costuma tornar a integral muito mais simples.
  • Faça o produto componente a componente: \begin{aligned} \vec{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) &= (2t+4t^{3})\cdot 1 + t\cdot (2t) + 1\cdot(-2t-4t^{3}) \\\ &= 2t+4t^{3} + 2t^{2} -2t -4t^{3}. \end{aligned}
  • Agora observe as cancelamentos: 2t e -2t se cancelam; 4t^{3} e -4t^{3} se cancelam. O que sobra é muito simples: \vec{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)=2t^{2}.
  • Comentário didático: esses cancelamentos acontecem frequentemente quando o campo tem estrutura relacionada às derivadas da parametrização; é sempre bom expandir e simplificar antes de integrar.

Passo 7

Calcular a integral definida usando a expressão simplificada.
  • A integral de linha pedida é \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt.
  • Integrando: \int_{-1}^{1} 2t^{2}\,dt = 2\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = 2\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}\right)=2\left(\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}\right)=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
  • Observação: a função t^{2} é par, então integrar de -1 a 1 é duas vezes a integral de 0 a 1; isso também daria rapidamente \displaystyle 2\cdot 2\int_{0}^{1} t^{2}dt = \tfrac{4}{3}.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\; t^{2},\; 2-t^{2}-t^{4}\bigr),\\ t\in[-1,1]\newline
\displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{4}{3}

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