Considere
uma curva dada pela interseção das seguintes superfícies
e
e percorrida da esquerda para direita considerando a origem. Observação: considere
.
(a) Parametrize a curva
.
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial
dado por
ao longo da curva
.
(a) Parametrize a curva
(b) Calcule a integral de linha do campo vetorial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Dado o par de superfícies:
-
. -
.
-
- A curva
é a interseção e tem a condição adicional . - Orientação pedida: a curva é percorrida “da esquerda para direita considerando a origem” — ou seja, no sentido de
aumentando (de valores negativos para positivos).
O enunciado pede duas coisas:
(a) Parametrizar a curva seguindo a orientação indicada.
(b) Calcular a integral de linha do campo vetorial dado por
ao longo de
.
(a) Parametrizar a curva
(b) Calcular a integral de linha do campo vetorial
Passo 2
Entender geometricamente a interseção e extrair relações entre as coordenadas — isto nos diz como escolher uma parametrização simples.
- Da superfície
vem a relação direta entre e : . - Substituindo essa relação em
obtemos em função de apenas: - A condição
impõe Para resolver essa desigualdade, faça a troca (note que ). Então As raízes do polinômio são e . Como , a solução real para é , ou seja . - Portanto
varia em . Isso é consistente com a exigência .
Passo 3
Escolher a parametrização usando
como parâmetro — é o jeito mais direto e simples.
- Tomamos
para representar . Então e . - Já calculamos
em função de , logo em função de : - Como
deve ir da esquerda para a direita, queremos aumentar de até . Assim a parametrização (vetorial) é - Comentário didático: parametrizar pela própria coordenada
é comum quando uma das superfícies já dá em função de . Isso torna as derivadas e substituições muito diretas.
Passo 4
Relembrar a fórmula para integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada — e explicar cada termo.
- Se uma curva
é parametrizada por , , e temos um campo vetorial , a integral de linha (do tipo trabalho) é - O que significa cada símbolo:
-
é o campo avaliado nos pontos da curva (substituir por suas expressões em ). -
é o vetor velocidade (derivada componente a componente), e . - O produto escalar
dá uma função escalar em que integrarmos de até .
-
Passo 5
Calcular
e avaliar o campo
ao longo da parametrização.
- A parametrização é
. Derivando componente a componente: - Avaliando
em : lembre que . Substituindo e ,
Passo 6
Calcular o produto escalar
e simplificar antes de integrar — isso costuma tornar a integral muito mais simples.
- Faça o produto componente a componente:
- Agora observe as cancelamentos:
e se cancelam; e se cancelam. O que sobra é muito simples: - Comentário didático: esses cancelamentos acontecem frequentemente quando o campo tem estrutura relacionada às derivadas da parametrização; é sempre bom expandir e simplificar antes de integrar.
Passo 7
Calcular a integral definida usando a expressão simplificada.
- A integral de linha pedida é
- Integrando:
- Observação: a função
é par, então integrar de a é duas vezes a integral de a ; isso também daria rapidamente .