Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(16 t^{3} \mathbf{i}-9 t^{2} \mathbf{j}+25 t^{4} \mathbf{k}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial \mathbf{F}(t)=16t^{3}\mathbf{i}-9t^{2}\mathbf{j}+25t^{4}\mathbf{k}
no intervalo de t=0 a t=1. O conteúdo aqui é integração de polinômios: basta integrar cada componente escalar separadamente.

Passo 2

Para a componente em \mathbf{i}, integramos
\int_{0}^{1}16t^{3}\,dt =16\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =16\cdot\frac{1}{4} =4

Passo 3

Para a componente em \mathbf{j}, integramos
\int_{0}^{1}(-9t^{2})\,dt =-9\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =-9\cdot\frac{1}{3} =-3

Passo 4

Para a componente em \mathbf{k}, integramos
\int_{0}^{1}25t^{4}\,dt =25\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =25\cdot\frac{1}{5} =5

Resposta

4\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+5\,\mathbf{k}

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