Dado que y_{1}(t)=t^{-1} é uma solução de \( subst tur \)\theta y=\( par \)\bar{C}
2 t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-y=0, \quad t>0
(5 pts) Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 t e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3\,t\,e^{-t}.
Para isso, vamos:
  1. Determinar a solução geral da homogênea associada.
  2. Encontrar uma particular por coeficientes indeterminados.
  3. Somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 2y' - 3y = 0.
O polinômio característico é
r^{2} - 2r - 3 = 0
cuja resolução dá as raízes
r = 3 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}\,e^{3t} + C_{2}\,e^{-t}.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_{p}(t) de
y'' - 2y' - 3y = -3\,t\,e^{-t},
nota-se que e^{-t} já é solução da homogênea. Então, tentamos
y_{p}(t) = \bigl(A\,t^{2} + B\,t\bigr)\,e^{-t},
com A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos y_{p}' e y_{p}'':
y_{p} = (A t^{2} + B t)e^{-t},
y_{p}' = \bigl(-A t^{2} + (2A - B)t + B\bigr)\,e^{-t},
y_{p}'' = \bigl(A t^{2} +(-4A + B)t + (2A - 2B)\bigr)\,e^{-t}.
Substituindo em y'' - 2y' - 3y e agrupando os termos em t\,e^{-t} e e^{-t}, obtemos
\bigl(-8A\,t + (2A - 4B)\bigr)\,e^{-t} \;\overset{!}{=}\; -3\,t\,e^{-t}.
Comparando coeficientes de t\,e^{-t} e de e^{-t}:
-8A = -3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{8},
2A - 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{A}{2} = \tfrac{3}{16}.

Passo 5

Substituindo A e B em y_{p}, fica
y_{p}(t) = \Bigl(\tfrac{3}{8}\,t^{2} + \tfrac{3}{16}\,t\Bigr)e^{-t} = \frac{3\,t\,(2t + 1)}{16}\,e^{-t}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = C_{1}\,e^{3t} + C_{2}\,e^{-t} + \frac{3\,t\,(2t + 1)}{16}\,e^{-t}.

Resposta

y(t) = C_{1}\,e^{3t} + C_{2}\,e^{-t} + \frac{3\,t\,(2t + 1)}{16}\,e^{-t}.

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