Dado que
é uma solução de
(5 pts) Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Para isso, vamos:
- Determinar a solução geral da homogênea associada.
- Encontrar uma particular por coeficientes indeterminados.
- Somar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
cuja resolução dá as raízes
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular
de
nota-se que
já é solução da homogênea. Então, tentamos
com
e
a determinar.
Passo 4
Calculamos
e
:
Substituindo em
e agrupando os termos em
e
, obtemos
Comparando coeficientes de
e de
:
Passo 5
Substituindo
e
em
, fica
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: