Calcule o limite.
\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(\frac{t^{2}+1}{3 t^{2}+2} \mathbf{i}+\frac{1}{t} \mathbf{j}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{t\rightarrow+\infty}\bigl(\tfrac{t^{2}+1}{3t^{2}+2}\mathbf{i}+\tfrac{1}{t}\mathbf{j}\bigr).
Isso envolve limite de função vetorial, e sabemos que se as componentes escalares têm limites, então o vetor limite é formado pelos limites dessas componentes.

Passo 2

Calcular as duas componentes separadamente:
Para a componente em \mathbf{i}:
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}+1}{3t^{2}+2} =\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{t^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{t^{2}}\bigr)}{t^{2}\bigl(3+\tfrac{2}{t^{2}}\bigr)} =\frac{1}{3}.
Para a componente em \mathbf{j}:
\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{t}=0.
Portanto o vetor limite é \tfrac{1}{3}\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}, que podemos escrever simplesmente como \tfrac{1}{3}\mathbf{i}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{3}\mathbf{i}

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