(3 pontos) Um semićrculo de raio R possui densidade superficial no ponto P proporcional à distancia do ponto ao centro do círculo.
a) Determine a massa e o centro de massa.
b) Calcule os momentos de inércia I_{x}, I_{y} e I_{0}.
c) Obtenha os raíos de rotação R_{x}, R_{y} e R_{0}.

Passo 1

O enunciado trata de uma lâmina em forma de semicírculo de raio R e densidade superficial proporcional à distância ao centro, isto é
\rho(r,\theta) = k\,r,
onde k é constante e (r,\theta) são coordenadas polares com origem no centro do círculo. Para resolver precisamos usar integrais duplas em coordenadas polares, lembrando que o elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Calcular a massa m.
m = \iint_{A}\rho\,dA = \int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} \bigl(k\,r\bigr)\,(r\,dr\,d\theta) = k \int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} r^{2}\,dr\,d\theta = k \Bigl(\int_{0}^{\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{R}r^{2}dr\Bigr).
Como \int_{0}^{\pi}d\theta = \pi e \int_{0}^{R}r^{2}dr = R^{3}/3, segue
m = k\,\pi\,\frac{R^{3}}{3}.

Passo 3

Determinar o centro de massa (\bar x,\bar y).
Por simetria em relação ao eixo vertical, \bar x=0.
Para \bar y:
\bar y = \frac{1}{m}\iint_{A} y\,\rho\,dA = \frac{1}{m}\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} (r\sin\theta)\,(k\,r)\,(r\,dr\,d\theta) = \frac{k}{m}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{R}r^{3}dr.
Temos \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2 e \int_{0}^{R}r^{3}dr = R^{4}/4, então
\iint_{A} y\,\rho\,dA = k\,\frac{R^{4}}{4}\cdot 2 = \frac{k\,R^{4}}{2},
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\bar y = \frac{\tfrac{k\,R^{4}}{2}}{k\,\pi\,R^{3}/3} = \frac{R}{2}\,\frac{3}{\pi} = \frac{3R}{2\pi}.

Passo 4

Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo centro do círculo:
  • I_{x} = \iint_{A} y^{2}\,\rho\,dA.
    Em polares, y = r\sin\theta, então
I_{x} = \int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R} (r\sin\theta)^{2}\,(k\,r)\,(r\,dr\,d\theta) = k\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{R}r^{4}dr = k\,\frac{\pi}{2}\,\frac{R^{5}}{5} = \frac{k\pi R^{5}}{10}.
  • Pelo mesmo raciocínio, I_{y} = \iint_{A} x^{2}\,\rho\,dA dá também
I_{y} = \frac{k\pi R^{5}}{10}.
  • O momento polar I_{0} (quanto soma de I_{x}+I_{y}) é
I_{0} = I_{x}+I_{y} = \frac{k\pi R^{5}}{10} + \frac{k\pi R^{5}}{10} = \frac{k\pi R^{5}}{5}.
Substituindo k = 3m/(\pi R^{3}), obtém-se em função de m:
I_{x} = I_{y} = \frac{3mR^{2}}{10}, \quad I_{0} = \frac{3mR^{2}}{5}.

Passo 5

Obter os raios de rotação R_{x},R_{y},R_{0}, definidos por
R_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}},\quad R_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{m}},\quad R_{0} = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}}.
Substituindo os valores:
R_{x} = R_{y} = \sqrt{\frac{3mR^{2}/10}{m}} = R\sqrt{\frac{3}{10}}, \qquad R_{0} = \sqrt{\frac{3mR^{2}/5}{m}} = R\sqrt{\frac{3}{5}}.

Resposta

m = \displaystyle \frac{k\pi R^{3}}{3} \bar x=0, \bar y=\displaystyle \frac{3R}{2\pi} I_{x}=I_{y}=\displaystyle \frac{3mR^{2}}{10}, I_{0}=\displaystyle \frac{3mR^{2}}{5} R_{x}=R_{y}=R\sqrt{\frac{3}{10}}, R_{0}=R\sqrt{\frac{3}{5}}

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