(3 pontos) Um semićrculo de raio
possui densidade superficial no ponto
proporcional à distancia do ponto ao centro do círculo.
a) Determine a massa e o centro de massa.
b) Calcule os momentos de inércia
e
.
c) Obtenha os raíos de rotação
e
.
a) Determine a massa e o centro de massa.
b) Calcule os momentos de inércia
c) Obtenha os raíos de rotação
Passo 1
O enunciado trata de uma lâmina em forma de semicírculo de raio
e densidade superficial proporcional à distância ao centro, isto é
onde
é constante e
são coordenadas polares com origem no centro do círculo. Para resolver precisamos usar integrais duplas em coordenadas polares, lembrando que o elemento de área é
.
Passo 2
Calcular a massa
.
Como
e
, segue
Passo 3
Determinar o centro de massa
.
Por simetria em relação ao eixo vertical, .
Para :
Por simetria em relação ao eixo vertical,
Para
Temos
e
, então
logo
Passo 4
Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos que passam pelo centro do círculo:
-
.
Em polares,, então
- Pelo mesmo raciocínio,
dá também
- O momento polar
(quanto soma de ) é
Substituindo
, obtém-se em função de
:
Passo 5
Obter os raios de rotação
, definidos por
Substituindo os valores:
Resposta
m =
,
,
,