Calcule a integral.
\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{1} t^{3}-\frac{3}{2} t^{2}+\frac{2}{3} t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio em t no intervalo de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\biggl(\tfrac{1}{1}t^{3}-\tfrac{3}{2}t^{2}+\tfrac{2}{3}t\biggr)\,dt.
O conteúdo aqui é integração de termos polinomiais, usando a regra
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente. A antiderivada F(t) é
F(t) =\int \Bigl(t^{3}\Bigr)\,dt -\int \Bigl(\tfrac{3}{2}t^{2}\Bigr)\,dt +\int \Bigl(\tfrac{2}{3}t\Bigr)\,dt =\frac{t^{4}}{4} -\frac{3}{2}\cdot\frac{t^{3}}{3} +\frac{2}{3}\cdot\frac{t^{2}}{2} =\frac{t^{4}}{4} -\frac{t^{3}}{2} +\frac{t^{2}}{3}.

Passo 3

Agora avaliamos F(t) em t=2 e t=0:
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{3}}{2}+\frac{2^{2}}{3} = \frac{16}{4}-\frac{8}{2}+\frac{4}{3} =4-4+\frac{4}{3} =\frac{4}{3},
F(0)=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2}\bigl(\dots\bigr)\,dt =F(2)-F(0) =\frac{4}{3}-0 =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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