Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(t^{2}+t^{3 / 2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de potências de t:
\int_{0}^{1}\bigl(t^{2}+t^{3/2}\bigr)\,dt.
O conteúdo principal é usar a regra de integração de potências, que diz
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Podemos separar a integral em duas partes, pela linearidade:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt \;+\;\int_{0}^{1}t^{3/2}\,dt.

Passo 3

Para a primeira parte, aplicamos a fórmula com n=2:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt =\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} =\frac{1}{3}.

Passo 4

Para a segunda parte, usamos n=\tfrac{3}{2}:
\int_{0}^{1}t^{3/2}\,dt =\left[\frac{t^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{5}\bigl(1^{5/2}-0^{5/2}\bigr) =\frac{2}{5}.

Passo 5

Somando os resultados:
\frac{1}{3} + \frac{2}{5} =\frac{5}{15} + \frac{6}{15} =\frac{11}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{15}

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