Calcule a integral.
\int_{1}^{3}\left(x^{2}+2 x-4\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\bigl(x^{2}+2x-4\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de um polinômio, usando a regra do poder e a linearidade da integral.

Passo 2

Vamos encontrar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{2}+2x-4. Usando as regras
\int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}, \quad \int 2x\,dx = x^{2}, \quad \int (-4)\,dx = -4x,
temos
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1}^{3}f(x)\,dx = F(3)-F(1).
Calculemos
F(3)=\frac{3^{3}}{3}+3^{2}-4\cdot3 = \frac{27}{3}+9-12 = 9+9-12 = 6,
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-4\cdot1 = \frac{1}{3}+1-4 = \frac{1}{3}-3 = -\frac{8}{3}.
Portanto
F(3)-F(1) = 6 - \bigl(-\tfrac{8}{3}\bigr) = 6 + \tfrac{8}{3} = \frac{18}{3} + \frac{8}{3} = \frac{26}{3}.

Resposta

\frac{26}{3}

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