Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
\int_{1}^{3}\left(3 x^{2}+7 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{3}\bigl(3x^{2}+7x\bigr)\,dx
usando a definição de integral de Riemann (Teorema 4). Vamos particionar o intervalo, montar a soma de Riemann e depois tomar o limite conforme n\to\infty.

Passo 2

Dividimos [1,3] em n subintervalos iguais de largura
\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n}.
Escolhemos o ponto de amostragem como o extremo direito de cada subintervalo, ou seja,
x_{i} = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann associada é
S_{n} \;=\; \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x \;=\; \sum_{i=1}^{n}\Bigl[3x_{i}^{2}+7x_{i}\Bigr]\;\frac{2}{n}.

Passo 4

Calculamos f(x_{i}):
3\bigl(1+\tfrac{2i}{n}\bigr)^{2} + 7\bigl(1+\tfrac{2i}{n}\bigr) = 3\Bigl(1 + \tfrac{4i}{n} + \tfrac{4i^{2}}{n^{2}}\Bigr) +7 + \tfrac{14i}{n} = 10 + \frac{26\,i}{n} + \frac{12\,i^{2}}{n^{2}}.
Logo
S_{n} = \sum_{i=1}^{n}\Bigl(10 + \tfrac{26\,i}{n} + \tfrac{12\,i^{2}}{n^{2}}\Bigr)\,\frac{2}{n} = \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(10 + \tfrac{26\,i}{n} + \tfrac{12\,i^{2}}{n^{2}}\Bigr).

Passo 5

Separamos a soma em três parcelas e usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{i=1}^{n}1 = n, \quad \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Portanto
S_{n} = \frac{2}{n}\Bigl[ 10\underbrace{\sum_{i=1}^{n}1}_{n} + \frac{26}{n}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}i}_{\frac{n(n+1)}{2}} + \frac{12}{n^{2}}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}i^{2}}_{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \Bigr].

Passo 6

Substituindo as somas e simplificando:
10n + \frac{26}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} + \frac{12}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 10n + 13(n+1) + 2\,\frac{(n+1)(2n+1)}{n}.
Então
S_{n} = \frac{2}{n}\Bigl[10n + 13(n+1) + 2\frac{(n+1)(2n+1)}{n}\Bigr] = 20 + \frac{26(n+1)}{n} + \frac{4\,(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.

Passo 7

Agora fazemos o limite n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}20 + \frac{26(n+1)}{n} + \frac{4\,(n+1)(2n+1)}{n^{2}} = 20 + 26\cdot1 + 4\cdot2 = 20 + 26 + 8 = 54.

Resposta

\displaystyle 54

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