Calcule a integral:
\int_{0}^{1}(1-2 r)^{2} d r

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1}(1-2 r)^{2}\,dr.
Informações dadas:
\;0 e \;1 são os limites de integração;
a variável de integração é \;r;
a integranda é (1-2r)^2.
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Vou escolher um método: expandir o quadrado e integrar termo a termo. Justificativa rápida: (1-2r)^2 é um polinômio em \;r após a expansão, e integrar polinômios é direto usando a regra da potência; isso é mais simples e rápido do que fazer substituição aqui.

Passo 3

Faço a expansão do quadrado usando (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Tomando a=1 e b=2r,
(1-2r)^2 = 1^2 - 2\cdot 1\cdot(2r) + (2r)^2 = 1 - 4r + 4r^2.

Passo 4

Uso a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser fatoradas para fora da integral. Ou seja,
\int_{0}^{1}(1-2 r)^{2}\,dr = \int_{0}^{1}1\,dr - \int_{0}^{1}4r\,dr + \int_{0}^{1}4r^{2}\,dr.

Passo 5

Aplico a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int r^{n}\,dr = \frac{r^{n+1}}{n+1}.
Agora calculo cada termo entre os limites \;0 e \;1:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}1\,dr = \big[r\big]_{0}^{1} = 1-0 = 1.
  2. \displaystyle \int_{0}^{1}4r\,dr = 4\int_{0}^{1}r\,dr = 4\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 4\cdot\frac{1}{2} = 2.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1}4r^{2}\,dr = 4\int_{0}^{1}r^{2}\,dr = 4\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 4\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Observe que o segundo termo original tinha sinal negativo, então ele contribui como -2.

Passo 6

Somando os resultados:
1 - 2 + \frac{4}{3} = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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