Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z, t)=x y z^{2} \tan (y t).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z,t)=x\,y\,z^{2}\,\tan(y\,t),
ou seja, precisamos calcular \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} e \frac{\partial f}{\partial t}. Para isso usamos a definição de derivada parcial (derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes), a regra do produto e a regra da cadeia (para \tan(y\,t)).

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y, z e t como constantes. Como só o fator x depende de x, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr)\;\cdot\,y\,z^{2}\,\tan(y\,t) =1\cdot y\,z^{2}\,\tan(y\,t)
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\frac{\partial f}{\partial x}=y\,z^{2}\,\tan(y\,t).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} aplicamos a regra do produto a y\cdot\tan(y\,t). Seja g(y)=y e h(y)=\tan(y\,t). Então
g'(y)=1, \quad h'(y)=\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\,\frac{d}{dy}(y\,t) =\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\,t.
Multiplicando por x\,z^2, vem
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,z^{2}\bigl[g'(y)\,h(y)+g(y)\,h'(y)\bigr] =x\,z^{2}\bigl(\tan(y\,t)+y\,t\,\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\bigr).

Passo 4

Para \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x, y e t como constantes. Como depende de z só o fator z^2, usamos
\frac{d}{dz}(z^2)=2z,
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\frac{\partial f}{\partial z} =x\,y\;\cdot 2z\;\cdot\tan(y\,t) =2\,x\,y\,z\,\tan(y\,t).

Passo 5

Para \frac{\partial f}{\partial t} \tan(y\,t) varia com t. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\tan(y\,t) =\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\,\frac{d}{dt}(y\,t) =\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\,y.
Multiplicando por x\,y\,z^2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial t} =x\,y\,z^{2}\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\,y\bigr) =x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(y\,t).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y\,z^{2}\,\tan(y\,t),
\frac{\partial f}{\partial y}=x\,z^{2}\bigl(\tan(y\,t)+y\,t\,\operatorname{sec}^{2}(y\,t)\bigr),
\frac{\partial f}{\partial z}=2\,x\,y\,z\,\tan(y\,t),
\frac{\partial f}{\partial t}=x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(y\,t).

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