Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(1-8 v^{3}+16 v^{7}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{7}\bigr)\,dv.
O conteúdo envolvido é integração de polinômios, usando a regra do poder:
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Separamos a integral em três parcelas:
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{7}\bigr)\,dv = \int_{0}^{1}1\,dv - 8\int_{0}^{1}v^{3}\,dv + 16\int_{0}^{1}v^{7}\,dv.

Passo 3

Calculamos a primeira:
\int_{0}^{1}1\,dv = \bigl[v\bigr]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1.

Passo 4

Calculamos a segunda:
\int_{0}^{1}v^{3}\,dv = \left[\frac{v^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4},
então
-8 \times \frac{1}{4} = -2.

Passo 5

Calculamos a terceira:
\int_{0}^{1}v^{7}\,dv = \left[\frac{v^{8}}{8}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8},
então
16 \times \frac{1}{8} = 2.

Passo 6

Somando os resultados:
1 \;+\;(-2)\;+\;2 \;=\;1.

Resposta

1

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