a) Dada a funcal f(x, y)=\frac{2 x^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}, verifigue se existe o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y). Justifique
b) A funcail f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x^{2}}{x^{2}+2 y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
écontinua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y)=\frac{2x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\quad\text{(para }(x,y)\neq(0,0)\text{)}:
a) verificar se existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y);
b) com a definição
f(0,0)=0,
decidir se f é contínua em (0,0).
O conteúdo que vamos usar é o teste de limites por aproximação em diferentes caminhos no plano.

Passo 2

Analisamos o caminho y=0. Para x\neq0 e y=0 temos
f(x,0)=\frac{2x^{2}}{x^{2}+2\cdot0^{2}} =\frac{2x^{2}}{x^{2}} =2.
Logo
\lim_{x\to0}f(x,0)=2.

Passo 3

Agora analisamos o caminho x=0. Para x=0 e y\neq0 temos
f(0,y)=\frac{2\cdot0^{2}}{0^{2}+2y^{2}} =0.
Portanto
\lim_{y\to0}f(0,y)=0.

Passo 4

Como ao aproximar de (0,0) pelo eixo x o valor da função tende a 2, e pelo eixo y tende a 0, os limites são diferentes. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe.

Passo 5

Para ser contínua em (0,0), seria necessário que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Como o limite não existe, f não é contínua em (0,0).

Resposta

a) Não existe limite.
b) A função não é contínua em (0,0).

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