Dada f(x, y)=x^{2} y+3 x^{2} e^{x y}
a) Determine \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}
b) Calcule \frac{\partial f}{\partial \vec{N}}(1,0) na durecal do veter \vec{v}=(1,-2)
c) Encontre a taxa de variafão máxima de f(x, y) \mathrm{em}(1,0) e determine a direçã de variação mínima em (1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}y+3x^{2}e^{xy}
e pede:
– (a) as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y};
– (b) a derivada direcional de f em (1,0) na direção do vetor \vec v=(1,-2);
– (c) a taxa de variação máxima em (1,0) e a direção de variação mínima nesse ponto.
Para tudo isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calcular \frac{\partial f}{\partial x} significa derivar f em relação a x, tratando y como constante. Temos duas parcelas em f:
1. x^{2}y \to derivada é 2x\,y.
2. 3x^{2}e^{xy} \to aqui aplicamos produto e cadeia:
– derivada de x^{2} é 2x, mantendo e^{xy};
– mais x^{2} vezes derivada de e^{xy} que é e^{xy}\cdot y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =2x\,y +3\bigl(2x\,e^{xy}+x^{2}y\,e^{xy}\bigr) =2xy+6x\,e^{xy}+3x^{2}y\,e^{xy}.

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y}, derivamos em relação a y, com x fixo. As parcelas são:
1. x^{2}y \to derivada é x^{2}.
2. 3x^{2}e^{xy} \to só cadeia em e^{xy}, pois x^{2} é constante:
derivada de e^{xy} é e^{xy}\cdot x.
Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2} +3x^{2}\bigl(e^{xy}\cdot x\bigr) = x^{2}+3x^{3}e^{xy}.

Passo 4

A derivada direcional de f na direção de \vec v em (1,0) é
D_{\vec N}f(1,0) =\nabla f(1,0)\cdot\vec N,
onde \vec N é o vetor unitário em direção a \vec v=(1,-2).
1. Avaliando o gradiente em (1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=2\cdot1\cdot0+6\cdot1\cdot e^{0}+3\cdot1^{2}\cdot0\cdot e^{0}=6,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)=1^{2}+3\cdot1^{3}\cdot e^{0}=1+3=4.
Logo \nabla f(1,0)=(6,4).
2. O vetor unitário é
\vec N=\frac{(1,-2)}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}} =\frac{(1,-2)}{\sqrt{5}}.
3. A derivada direcional fica
D_{\vec N}f(1,0) =(6,4)\cdot\frac{(1,-2)}{\sqrt{5}} =\frac{6-8}{\sqrt{5}} =-\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 5

A taxa de variação máxima de f em (1,0) é o módulo do gradiente aí avaliado:
\|\nabla f(1,0)\| =\sqrt{6^{2}+4^{2}} =\sqrt{36+16} =\sqrt{52} =2\sqrt{13}.
A direção de variação mínima é exatamente oposta ao gradiente, ou seja, dada pelo vetor -\nabla f(1,0)=(-6,-4). O versor dessa direção é
\frac{(-6,-4)}{\|\nabla f(1,0)\|} =\frac{(-6,-4)}{2\sqrt{13}} =\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+6x\,e^{xy}+3x^{2}y\,e^{xy},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3x^{3}e^{xy}.
(b) \displaystyle D_{\vec N}f(1,0)=-\frac{2}{\sqrt{5}}.
(c) taxa de variação máxima 2\sqrt{13}; direção de variação mínima dada pelo versor \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr).

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