Dada
a) Determine
e
b) Calcule
na durecal do veter
c) Encontre a taxa de variafão máxima de
e determine a direçã de variação mínima em
.
a) Determine
b) Calcule
c) Encontre a taxa de variafão máxima de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
– (a) as derivadas parciais e
;
– (b) a derivada direcional de em
na direção do vetor
;
– (c) a taxa de variação máxima em e a direção de variação mínima nesse ponto.
Para tudo isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
– (a) as derivadas parciais
– (b) a derivada direcional de
– (c) a taxa de variação máxima em
Para tudo isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calcular
significa derivar
em relação a
, tratando
como constante. Temos duas parcelas em
:
.
derivada é
.
.
aqui aplicamos produto e cadeia:
– derivada de é
, mantendo
;
– mais vezes derivada de
que é
.
Logo,
– derivada de
– mais
Logo,
Passo 3
Para
, derivamos em relação a
, com
fixo. As parcelas são:
.
derivada é
.
.
só cadeia em
, pois
é constante:
derivada de é
.
Assim,
derivada de
Assim,
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
em
é
onde
é o vetor unitário em direção a
.
. Avaliando o gradiente em
:
Logo
.
. O vetor unitário é
Passo 5
A taxa de variação máxima de
em
é o módulo do gradiente aí avaliado:
A direção de variação mínima é exatamente oposta ao gradiente, ou seja, dada pelo vetor
. O versor dessa direção é
Resposta
(a)
(b)
(c) taxa de variação máxima ; direção de variação mínima dada pelo versor
.
(b)
(c) taxa de variação máxima