A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio, cilíndrico infinito de raio a =4,0 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central é o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação \mathrm{J}=\mathrm{J}_{0} \mathrm{r} / \mathrm{a}, em que \mathrm{J}_{0}=400 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para \mathrm{r}=0;

Passo 1

O enunciado nos dá um fio cilíndrico infinito de raio a=4{,}0\\ \mathrm{mm} e densidade de corrente volumétrica paralela ao eixo, que varia como
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},\quad J_{0}=400\\ \mathrm{A/m^{2}},
e pede o módulo do campo magnético \bm B exatamente no centro do fio, isto é, para r=0. O conteúdo principal envolve simetria cilíndrica e a Lei de Ampère para calcular B(r) e, em seguida, avaliar em r=0.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica o campo magnético tem apenas componente azimutal B_\varphi(r), e a Lei de Ampère em um caminho circular de raio r (com r\le a) diz:
\oint \bm B\cdot d\bm \ell = B_\varphi(r)\,(2\pi r) = \mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}}(r),
onde I_{\mathrm{enc}}(r) é a corrente envolvida dentro desse raio.

Passo 3

Calculamos a corrente envolvida integrando J(r') na seção transversal de raio r:
I_{\mathrm{enc}}(r) =\int_{0}^{r} J(r')\,2\pi r'\,dr' =\int_{0}^{r} \Bigl(J_{0}\frac{r'}{a}\Bigr)\,2\pi r'\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a}\,\frac{r^{3}}{3}.

Passo 4

Substituindo I_{\mathrm{enc}}(r) na Lei de Ampère, obtemos para r\le a:
B_\varphi(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,\frac{2\pi J_{0}}{a}\,\frac{r^{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad B_\varphi(r) =\mu_{0}\,\frac{J_{0}}{a}\,\frac{r^{2}}{3}.

Passo 5

Para r=0 temos
B_\varphi(0) =\mu_{0}\,\frac{J_{0}}{a}\,\frac{0^{2}}{3} =0.
Logo, o campo magnético no centro do fio é nulo.

Resposta

O módulo do campo magnético em r=0 é 0\\ \mathrm T.

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