Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função entre
e
:
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - A função vetorial é composta por três componentes escalares:
- componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
A tarefa é calcular a integral definida desse vetor função.
- componente em
Passo 2
Conceito importante (linhas bem mastigadas): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Isto decorre da linearidade da integral (posso somar e puxar constantes para fora). Então vamos integrar cada componente scalaar separadamente.
Passo 3
Regra que vamos usar (regra do “expoente”): para qualquer
,
onde
é a constante de integração (para integrais indefinidas). Para integrais definidas isto vira avaliar a primitiva nos limites:
Também usaremos a linearidade (constantes multiplicando podem sair da integral).
Passo 4
Achar primitivas (antiderivadas) de cada componente:
- Para
: aplicar a regra com ,
- Para
: constante sai, com ,
- Para
: constante sai, com ,
Portanto uma primitiva vetorial é
A integral definida é
.
Passo 5
Avaliar nos limites
e
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Os valores nas componentes (separadamente) são
,
e
. A montagem final do vetor será feita na seção de resposta.