Calcule a integral
\int_{0}^{2}\left(t \vec{\imath}-t^{3} \vec{\jmath}+3 t^{5} \vec{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do vetor função entre t=0 e t=2:
\int_{0}^{2}\left(t \vec{\imath}-t^{3} \vec{\jmath}+3 t^{5} \vec{k}\right) dt.
Informações dadas:
  • Limites de integração: 0 e 2.
  • A função vetorial é composta por três componentes escalares:
    • componente em \vec{\imath}: t,
    • componente em \vec{\jmath}: -t^{3},
    • componente em \vec{k}: 3t^{5}.
      A tarefa é calcular a integral definida desse vetor função.

Passo 2

Conceito importante (linhas bem mastigadas): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{F}(t)=F_x(t)\,\vec{\imath}+F_y(t)\,\vec{\jmath}+F_z(t)\,\vec{k},
então
\int_{a}^{b}\vec{F}(t)\,dt=\left(\int_{a}^{b}F_x(t)\,dt\right)\vec{\imath}+\left(\int_{a}^{b}F_y(t)\,dt\right)\vec{\jmath}+\left(\int_{a}^{b}F_z(t)\,dt\right)\vec{k}.
Isto decorre da linearidade da integral (posso somar e puxar constantes para fora). Então vamos integrar cada componente scalaar separadamente.

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do “expoente”): para qualquer n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (para integrais indefinidas). Para integrais definidas isto vira avaliar a primitiva nos limites:
\int_{a}^{b} t^{n}\,dt=\left.\frac{t^{n+1}}{n+1}\right|_{t=a}^{t=b}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}.
Também usaremos a linearidade (constantes multiplicando podem sair da integral).

Passo 4

Achar primitivas (antiderivadas) de cada componente:
  • Para F_x(t)=t: aplicar a regra com n=1,
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.
  • Para F_y(t)=-t^{3}: constante -1 sai, com n=3,
\int -t^{3}\,dt=-\frac{t^{4}}{4}.
  • Para F_z(t)=3t^{5}: constante 3 sai, com n=5,
\int 3t^{5}\,dt=3\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{t^{6}}{2}.
Portanto uma primitiva vetorial é
\vec{G}(t)=\frac{t^{2}}{2}\,\vec{\imath}-\frac{t^{4}}{4}\,\vec{\jmath}+\frac{t^{6}}{2}\,\vec{k}.
A integral definida é \vec{G}(2)-\vec{G}(0).

Passo 5

Avaliar nos limites t=2 e t=0:
  • Componente \vec{\imath}:
\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
  • Componente \vec{\jmath}:
\left.-\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=-\frac{2^{4}}{4}-\left(-\frac{0^{4}}{4}\right)=-\frac{16}{4}=-4.
  • Componente \vec{k}:
\left.\frac{t^{6}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{6}}{2}-\frac{0^{6}}{2}=\frac{64}{2}=32.
Os valores nas componentes (separadamente) são 2, -4 e 32. A montagem final do vetor será feita na seção de resposta.

Resposta

\;2\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+32\vec{k}

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