Calcule \vec{A} \times \vec{B} para \vec{A}=(1,0,0) e \vec{B}=(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial (cross product) \vec{A}\times\vec{B} dado:
\vec{A}=(1,0,0), \qquad \vec{B}=(0,1,0).
Informações importantes fornecidas:
  • As componentes de \vec{A} são A_1=1, A_2=0, A_3=0.
  • As componentes de \vec{B} são B_1=0, B_2=1, B_3=0.
    A pergunta é: qual é o vetor \vec{A}\times\vec{B}?

Passo 2

Definição e fórmula útil: para dois vetores
\vec{A}=(A_1,A_2,A_3),\qquad \vec{B}=(B_1,B_2,B_3),
o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é o vetor cujas componentes são dadas por
\bigl(A_2B_3 - A_3B_2,\; A_3B_1 - A_1B_3,\; A_1B_2 - A_2B_1\bigr).
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • Cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos das componentes dos vetores originais.
  • O resultado é um vetor perpendicular (ortogonal) a ambos \vec{A} e \vec{B}.
  • O sinal e a orientação obedecem à regra da mão direita (ordem \vec{A}\times\vec{B} importa).

Passo 3

Vamos identificar explicitamente as componentes para os vetores dados:
A_1=1,\; A_2=0,\; A_3=0, \qquad B_1=0,\; B_2=1,\; B_3=0.
Agora aplicamos a fórmula componente a componente. Vou calcular cada componente separadamente para ficar bem claro.

Passo 4

Cálculo da componente x (primeira componente):
(\vec{A}\times\vec{B})_x = A_2B_3 - A_3B_2 = 0\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Cálculo da componente y (segunda componente):
(\vec{A}\times\vec{B})_y = A_3B_1 - A_1B_3 = 0\cdot 0 - 1\cdot 0 = 0.

Passo 6

Cálculo da componente z (terceira componente):
(\vec{A}\times\vec{B})_z = A_1B_2 - A_2B_1 = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.

Passo 7

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Norma: |\vec{A}|=1, |\vec{B}|=1 e o ângulo entre eles é \tfrac{\pi}{2}. Então |\vec{A}\times\vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta = 1\cdot 1\cdot 1 = 1, compatível com a componente z igual a 1.
  • Ortogonalidade: o vetor resultado deve ser ortogonal a \vec{A} e a \vec{B}. De fato,
(0,0,1)\cdot(1,0,0)=0, \qquad (0,0,1)\cdot(0,1,0)=0.
  • Orientação: \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}, isto é, (1,0,0)\times(0,1,0)=(0,0,1), conforme encontrado.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B}=(0,0,1)

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