Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=\vec{\imath}+t^{2} \vec{\jmath}+t^{3} \vec{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\vec{\imath}+t^{2}\vec{\jmath}+t^{3}\vec{k}, \qquad 0\le t\le 1.
O que se pede: determinar o comprimento (arco) da curva entre t=0 e t=1.
Informações relevantes que temos:
  • A função vetor tem componentes x(t)=1, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{3}.
  • O parâmetro t varia no intervalo [0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva suave \mathbf{r}(t) definida em [a,b], o comprimento S da curva entre t=a e t=b é
S=\int_{a}^{b}\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor componente a componente e \left\lVert \mathbf{v}\right\rVert é a norma euclidiana do vetor \mathbf{v}.
Aqui:
  • a=0 e b=1.
  • Precisamos calcular \mathbf{r}'(t), depois \left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert e integrar de 0 a 1.

Passo 3

Derivar componente a componente (regra: derivada de t^{n} é n t^{n-1}):
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\big(1,\;t^{2},\;t^{3}\big)=\big(0,\;2t,\;3t^{2}\big).
Isso significa que em cada t o vetor velocidade é \mathbf{r}'(t)=0\vec{\imath}+2t\vec{\jmath}+3t^{2}\vec{k}.

Passo 4

Calcular a norma de \mathbf{r}'(t):
\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert=\sqrt{0^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}}.
Fatorando t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{4t^{2}+9t^{4}}=\sqrt{t^{2}\,(4+9t^{2})}=|t|\sqrt{4+9t^{2}}.
Como t\in[0,1] temos t\ge 0, logo |t|=t. Portanto
\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert=t\sqrt{4+9t^{2}}.

Passo 5

Montar a integral do comprimento:
S=\int_{0}^{1} t\sqrt{4+9t^{2}}\,dt.
Resolver a integral por substituição. Tome
u=4+9t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=18t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{18}.
Quando t=0 temos u=4. Quando t=1 temos u=13. Substituindo:
S=\int_{u=4}^{u=13} \sqrt{u}\,\frac{du}{18}=\frac{1}{18}\int_{4}^{13} u^{1/2}\,du.

Passo 6

Calcular a integral de potências:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Aplicando nos limites e multiplicando o fator \tfrac{1}{18}:
S=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{4}^{13}=\frac{1}{27}\big(13^{3/2}-4^{3/2}\big).
Simplificando 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8 e escrevendo 13^{3/2}=13\sqrt{13}, obtemos
S=\frac{1}{27}\big(13\sqrt{13}-8\big).
(se quiser uma aproximação numérica, isso é aproximadamente S\approx\frac{1}{27}(13\cdot3{,}60555-8)\approx\frac{1}{27}(46{,}8722-8)\approx1{,}433, mas a forma exata abaixo é preferível.)

Resposta

\dfrac{1}{27}\big(13\sqrt{13}-8\big)

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