Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
O que se pede: determinar o comprimento (arco) da curva entre
e
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função vetor tem componentes
, , . - O parâmetro
varia no intervalo .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): para uma curva suave
definida em
, o comprimento
da curva entre
e
é
onde
é a derivada vetor componente a componente e
é a norma euclidiana do vetor
.
Aqui:
Aqui:
-
e . - Precisamos calcular
, depois e integrar de a .
Passo 3
Derivar componente a componente (regra: derivada de
é
):
Isso significa que em cada
o vetor velocidade é
.
Passo 4
Calcular a norma de
:
Fatorando
dentro da raiz:
Como
temos
, logo
. Portanto
Passo 5
Montar a integral do comprimento:
Resolver a integral por substituição. Tome
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo:
Passo 6
Calcular a integral de potências:
Aplicando nos limites e multiplicando o fator
:
Simplificando
e escrevendo
, obtemos
(se quiser uma aproximação numérica, isso é aproximadamente
, mas a forma exata abaixo é preferível.)