Determine a derivada da função vetorial.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para determinar a derivada
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- primeira componente:
; - segunda componente:
; - terceira componente:
.
Queremos calcular a derivada componente a componente e apresentar.
Passo 2
Regra básica que usaremos (definição operacional): se
então a derivada é feita componente a componente:
Isso significa que basta derivar cada função escalar separadamente e juntar os resultados em um vetor.
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
Usa-se a regra elemental: .
Logo a primeira componente de é
.
Usa-se a regra elemental:
Logo a primeira componente de
Passo 4
Derivada da segunda componente
.
Usa-se a regra do poder (power rule): . Aqui
, portanto
Usa-se a regra do poder (power rule):
Logo a segunda componente de
é
.
Passo 5
Derivada da terceira componente
.
Aqui é produto de duas funções: e
. Aplicamos a regra do produto:
Aqui é produto de duas funções:
Calculamos as partes:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes . Tomando temos . Assim
Agora aplicando o produto:
Portanto a terceira componente de
é
.
Passo 6
Juntando as três componentes obtidas, a derivada vetorial é