Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=\left\langle t, t^{2}, t \cos 2 t\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; t\cos 2t\rangle
e pede para determinar a derivada r'(t).
As informações relevantes são:
  • primeira componente: t;
  • segunda componente: t^{2};
  • terceira componente: t\cos 2t.
    Queremos calcular a derivada componente a componente e apresentar r'(t).

Passo 2

Regra básica que usaremos (definição operacional): se
r(t)=\langle f(t),\; g(t),\; h(t)\rangle,
então a derivada é feita componente a componente:
r'(t)=\langle f'(t),\; g'(t),\; h'(t)\rangle.
Isso significa que basta derivar cada função escalar separadamente e juntar os resultados em um vetor.

Passo 3

Derivada da primeira componente f(t)=t.
Usa-se a regra elemental: \dfrac{d}{dt}\,t=1.
Logo a primeira componente de r'(t) é 1.

Passo 4

Derivada da segunda componente g(t)=t^{2}.
Usa-se a regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dt}\,t^{n}=n\,t^{\,n-1}. Aqui n=2, portanto
\frac{d}{dt}\,t^{2}=2t.
Logo a segunda componente de r'(t) é 2t.

Passo 5

Derivada da terceira componente h(t)=t\cos 2t.
Aqui é produto de duas funções: u(t)=t e v(t)=\cos 2t. Aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Calculamos as partes:
  • u'(t)=\dfrac{d}{dt}\,t=1.
  • Para v(t)=\cos 2t usamos a regra da cadeia: derivada de \cos(s) é -\sin(s) vezes s'. Tomando s=2t temos s'=2. Assim
v'(t)=\frac{d}{dt}\cos 2t = -\sin 2t \cdot 2 = -2\sin 2t.
Agora aplicando o produto:
\frac{d}{dt}\big(t\cos 2t\big)=1\cdot\cos 2t + t\cdot(-2\sin 2t)=\cos 2t - 2t\sin 2t.
Portanto a terceira componente de r'(t) é \cos 2t - 2t\sin 2t.

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas, a derivada vetorial é
r'(t)=\langle 1,\; 2t,\; \cos 2t - 2t\sin 2t\rangle.

Resposta

\langle 1,\; 2t,\; \cos 2t - 2t\sin 2t\rangle

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