Determinar as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular a integral de linha ao longo do caminho fechado
- O caminho
está parametrizado por
- Informações importantes dadas pelo enunciado:
-
. -
. -
(constante ao longo de ). - Intervalo do parâmetro:
.
-
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida sobre integrais de linha).
- Para uma 1-forma
e uma parametrização , a integral de linha ao longo de é
- Aqui
e . Vou aplicar essa fórmula substituindo e calculando . - Observação prática: como
é constante, temos e portanto o termo com não contribui (porque ).
Passo 3
Derivadas das componentes e substituição inicial.
- Calcular derivadas:
- Substituindo
e as derivadas na integranda: Portanto a integranda (antes de simplificar) é
Passo 4
Simplificar a integranda usando identidades trigonométricas.
- Desenvolvendo os termos:
- Somando:
- Observação útil:
, e . Essas identidades serão usadas ao integrar termos que não são imediatamente óbvios.
Passo 5
Separar a integral em parcelas fáceis e calcular cada uma.
A integral total é
Calculo de cada parcela:
-
.
- Use substituição
, então . Assim - Avaliando de
a :
-
.
- Use
. Então pois retorna ao mesmo valor nos extremos.
-
.
- Use
. Então - Avaliando,
anula-se nos extremos, e obtemos
Passo 6
Somar os resultados parciais e comentar sobre expectativa.
- Somando as quatro parcelas:
. - Comentário didático: às vezes pode-se tentar verificar se o campo é conservativo (se fosse, a integral sobre qualquer curva fechada em domínio simplesmente conexo seria zero). Aqui, por exemplo,
e , que não coincidem em geral, então o campo não é conservativo e não esperávamos necessariamente integral zero. Contudo, como a curva tem fixo, parte dos termos some (o caiu), e o resultado acabou sendo .