Determinar as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados:
\oint_{C}[(x y+z) d x+(x-y) d y+4 z d z] C: \vec{r}(t)=(\operatorname{sen} t, \cos t, \pi), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a integral de linha ao longo do caminho fechado C
\oint_{C}\big[(x y+z)\,dx+(x-y)\,dy+4z\,dz\big].
  • O caminho C está parametrizado por
\vec{r}(t) = (\sin t,\;\cos t,\;\pi),\qquad t\in[0,2\pi].
  • Informações importantes dadas pelo enunciado:
    • x(t)=\sin t.
    • y(t)=\cos t.
    • z(t)=\pi (constante ao longo de C).
    • Intervalo do parâmetro: t\in[0,2\pi].

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (aula rápida sobre integrais de linha).
  • Para uma 1-forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz e uma parametrização \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)), a integral de linha ao longo de C é
\oint_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\big[P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\big]\,dt.
  • Aqui a=0 e b=2\pi. Vou aplicar essa fórmula substituindo x(t),y(t),z(t) e calculando x',y',z'.
  • Observação prática: como z(t)=\pi é constante, temos z'(t)=0 e portanto o termo com 4z\,dz não contribui (porque dz=z'(t)\,dt=0).

Passo 3

Derivadas das componentes e substituição inicial.
  • Calcular derivadas: x'(t)=\cos t,\qquad y'(t)=-\sin t,\qquad z'(t)=0.
  • Substituindo x,y,z e as derivadas na integranda: P=xy+z = (\sin t)(\cos t)+\pi, \qquad Q=x-y = \sin t-\cos t, \qquad R=4z = 4\pi.Portanto a integranda (antes de simplificar) é \big[(\sin t\cos t+\pi)\big]\cos t + (\sin t-\cos t)(- \sin t) + (4\pi)\cdot 0.

Passo 4

Simplificar a integranda usando identidades trigonométricas.
  • Desenvolvendo os termos: (\sin t\cos t+\pi)\cos t = \sin t\cos^2 t + \pi\cos t,
(\sin t-\cos t)(- \sin t) = -\sin^2 t + \sin t\cos t.
  • Somando: I(t)=\sin t\cos^2 t + \pi\cos t -\sin^2 t + \sin t\cos t.
  • Observação útil: \sin t\cos t = \tfrac{1}{2}\sin 2t, e \sin^2 t = \tfrac{1-\cos 2t}{2}. Essas identidades serão usadas ao integrar termos que não são imediatamente óbvios.

Passo 5

Separar a integral em parcelas fáceis e calcular cada uma.
A integral total é
\int_{0}^{2\pi} I(t)\,dt = \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos^2 t\,dt +\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt +\int_{0}^{2\pi}(-\sin^2 t)\,dt +\int_{0}^{2\pi}\pi\cos t\,dt.
Calculo de cada parcela:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos^2 t\,dt.
  • Use substituição u=\cos t, então du=-\sin t\,dt. Assim \int \sin t\cos^2 t\,dt = \int -u^2\,du = -\frac{u^3}{3} = -\frac{\cos^3 t}{3}.
  • Avaliando de 0 a 2\pi: -\frac{\cos^3(2\pi)}{3} - \left(-\frac{\cos^3 0}{3}\right) = -\frac{1}{3}+ \frac{1}{3} = 0.
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt.
  • Use \sin t\cos t = \tfrac{1}{2}\sin 2t. Então \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin 2t\,dt = -\frac{1}{4}\big[\cos 2t\big]_{0}^{2\pi} = 0,pois \cos 2t retorna ao mesmo valor nos extremos.
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}(-\sin^2 t)\,dt.
  • Use \sin^2 t=\tfrac{1-\cos 2t}{2}. Então \int_{0}^{2\pi}(-\sin^2 t)\,dt = -\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = -\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4}\right]_{0}^{2\pi}.
  • Avaliando, \sin 2t anula-se nos extremos, e obtemos -\left(\frac{2\pi}{2}-0\right) = -\pi.
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\pi\cos t\,dt = \pi\big[\sin t\big]_{0}^{2\pi} = \pi(0-0)=0.

Passo 6

Somar os resultados parciais e comentar sobre expectativa.
  • Somando as quatro parcelas: 0 + 0 + (-\pi) + 0 = -\pi.
  • Comentário didático: às vezes pode-se tentar verificar se o campo é conservativo (se fosse, a integral sobre qualquer curva fechada em domínio simplesmente conexo seria zero). Aqui, por exemplo, \partial P/\partial y = x e \partial Q/\partial x = 1, que não coincidem em geral, então o campo não é conservativo e não esperávamos necessariamente integral zero. Contudo, como a curva tem z fixo, parte dos termos some (o dz caiu), e o resultado acabou sendo -\pi.

Resposta

-\pi

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