Questão 62. Se (
) formam, nesta ordem, uma PA e uma PG simultaneamente, mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que os números
, nessa ordem, formam simultaneamente uma PA e uma PG. As perguntas que temos que responder são:
- Mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente
.
Informações relevantes dadas (reformuladas em igualdade, que vamos usar depois):
- Por serem termos consecutivos de uma progressão aritmética, vale
- Por serem termos consecutivos de uma progressão geométrica, vale
Passo 2
Breve explicação didática das duas propriedades que usamos (sem pular etapas).
- Progressão aritmética (PA): três números consecutivos
formam uma PA quando a diferença entre termos consecutivos é constante. Se essa diferença for , então
e daí segue imediatamente que
Essa última forma é a que usamos porque é compacta e fácil de manipular.
- Progressão geométrica (PG): três números consecutivos
formam uma PG quando o quociente entre termos consecutivos é constante. Se o quociente for , então
e eliminando
chega-se à identidade clássica
Essa forma
é a que costuma ser mais útil em provas curtas.
Passo 3
Escolha de método: vou usar a representação por diferença da PA, porque é direta e leva a uma substituição simples na condição da PG. Ou seja, escrevo
e
em função de
e de uma diferença
:
onde
é o “passo” da PA (pode ser positivo, negativo ou zero).
Passo 4
Substituo essas expressões na condição da PG
.
Primeiro escrevo o produto :
Primeiro escrevo o produto
Agora uso a identidade de diferença de quadrados:
Como
, temos
Passo 5
A igualdade anterior simplifica para
Para números reais (e, na verdade, também para números complexos) a única solução da equação
é
. Logo
Passo 6
Se
, voltando às expressões da PA:
Portanto
Passo 7
Alternativa curta (mesma ideia, só outra manipulação): usando
e
,
calcula-se
calcula-se
Daí
, então
e, substituindo em
, obtém-se
. Resultado igual:
.
Passo 8
Pequena verificação intuitiva e incentivo: isso mostra que a única maneira de três termos serem ao mesmo tempo PA e PG é serem todos iguais — por exemplo
funciona. Tranquilo: você chegou ao fim da prova com uma conta curta e elegante — manda ver nessa prova, você consegue!