Questão 62. Se ( a, b, c ) formam, nesta ordem, uma PA e uma PG simultaneamente, mostre que a=b=c.

Passo 1

O enunciado diz que os números (a,b,c), nessa ordem, formam simultaneamente uma PA e uma PG. As perguntas que temos que responder são:
  • Mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente (a=b=c).
Informações relevantes dadas (reformuladas em igualdade, que vamos usar depois):
  • Por serem termos consecutivos de uma progressão aritmética, vale
b=\frac{a+c}{2}.
  • Por serem termos consecutivos de uma progressão geométrica, vale
b^{2}=ac.

Passo 2

Breve explicação didática das duas propriedades que usamos (sem pular etapas).
  • Progressão aritmética (PA): três números consecutivos (a,b,c) formam uma PA quando a diferença entre termos consecutivos é constante. Se essa diferença for d, então
a=b-d,\qquad c=b+d,
e daí segue imediatamente que
b=\frac{a+c}{2}.
Essa última forma é a que usamos porque é compacta e fácil de manipular.
  • Progressão geométrica (PG): três números consecutivos (a,b,c) formam uma PG quando o quociente entre termos consecutivos é constante. Se o quociente for r, então
b=ar,\qquad c=ar^{2},
e eliminando r chega-se à identidade clássica
b^{2}=ac.
Essa forma b^{2}=ac é a que costuma ser mais útil em provas curtas.

Passo 3

Escolha de método: vou usar a representação por diferença da PA, porque é direta e leva a uma substituição simples na condição da PG. Ou seja, escrevo a e c em função de b e de uma diferença d:
a=b-d,\qquad c=b+d,
onde d é o “passo” da PA (pode ser positivo, negativo ou zero).

Passo 4

Substituo essas expressões na condição da PG \,b^{2}=ac.
Primeiro escrevo o produto ac:
ac=(b-d)(b+d).
Agora uso a identidade de diferença de quadrados:
(b-d)(b+d)=b^{2}-d^{2}.
Como b^{2}=ac, temos
b^{2}=b^{2}-d^{2}.

Passo 5

A igualdade anterior simplifica para
d^{2}=0.
Para números reais (e, na verdade, também para números complexos) a única solução da equação d^{2}=0 é d=0. Logo
d=0.

Passo 6

Se d=0, voltando às expressões da PA:
a=b-d=b-0=b, \qquad c=b+d=b+0=b.
Portanto
a=b=c.

Passo 7

Alternativa curta (mesma ideia, só outra manipulação): usando b=\dfrac{a+c}{2} e b^{2}=ac,
calcula-se
0=b^{2}-ac=\left(\frac{a+c}{2}\right)^{2}-ac=\frac{a^{2}-2ac+c^{2}}{4}=\frac{(a-c)^{2}}{4}.
Daí (a-c)^{2}=0, então a=c e, substituindo em b=\dfrac{a+c}{2}, obtém-se b=a. Resultado igual: a=b=c.

Passo 8

Pequena verificação intuitiva e incentivo: isso mostra que a única maneira de três termos serem ao mesmo tempo PA e PG é serem todos iguais — por exemplo (5,5,5) funciona. Tranquilo: você chegou ao fim da prova com uma conta curta e elegante — manda ver nessa prova, você consegue!

Resposta

a=b=c

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