Questão 5: Qual o comprimento do vetor projeção de \vec{a}=(4,5,-3) sobre o eixo y ?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do vetor projeção de \vec{a}=(4,5,-3) sobre o eixo y. O conteúdo envolvido é projeção de vetores, que usa produto escalar e vetor unitário da direção de projeção.

Passo 2

O eixo y é definido pelo vetor unitário
\vec{e}_y = (0,1,0),
que satisfaz \|\vec{e}_y\|=1.

Passo 3

A projeção de \vec{a} sobre \vec{e}_y é dada por
\mathrm{proj}_{\vec{e}_y}(\vec{a}) = (\vec{a}\cdot\vec{e}_y)\,\vec{e}_y.

Passo 4

Calcular o produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{e}_y = 4\cdot0 + 5\cdot1 + (-3)\cdot0 = 5.
Logo
\mathrm{proj}_{\vec{e}_y}(\vec{a}) = 5\,\vec{e}_y = (0,5,0).

Passo 5

O comprimento desse vetor é
\bigl\|(0,5,0)\bigr\| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5.

Resposta

5

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