DETERMINE A PRIMITIVA POR INTEGRAÇÃO POR PARTES E VERIFIQUE DERIVANDO
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) e verificar derivando a seguinte integral indefinida:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Deve-se usar integração por partes para determinar a primitiva e depois verificar, derivando, que o resultado realmente retorna à função integranda.
Passo 2
Lembra da fórmula de integração por partes? Ela vem da regra do produto para derivação e diz:
onde
e
são funções escolhidas de modo que
e
sejam fáceis de obter.
Aqui é natural escolher a potência como
(assim ela diminui quando derivamos) e o restante como
. Então fazemos a escolha:
Então
e precisamos de
, ou seja, uma primitiva de
. No próximo passo calculo essa primitiva.
Passo 3
Calcular
. Vou fazer isso por integração por partes dupla (procedimento padrão para
).
Defina
Fazendo integração por partes com
e
:
-
dá , -
.
Logo
Agora seja
Fazendo integração por partes análoga para
(com
,
):
-
,
então
Mas
é
. Então obtemos
Voltemos à expressão para
:
Isolando
:
Portanto
Assim escolhemos a primitiva específica (sem constante) como
Passo 4
Agora aplicamos a integração por partes principal com
e
encontrado:
Isto é
Para organizar o cálculo, defino duas famílias de integrais
O que acabamos de escrever dá, para
,
Agora vamos calcular
e
usando as mesmas ideias de redução. Em geral, usando
e
ou
e as primitivas já conhecidas de
e
, obtemos as fórmulas de redução:
onde
Passo 5
Calculo recursivo passo a passo (começando em
).
Para
:
Para
:
Como
segue
Analogamente
e
portanto
Para
:
Calculando
:
Mas
. Então
Logo
Para
:
Mas ao combinar
(que aparece na fórmula para
) nota-se uma simplificação conveniente:
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Agora retorne à expressão para
:
Substituindo a expressão de
:
Lembre que
. Substituindo e fatorando
obtém-se, após simplificar os termos em
e
,
(Isto resulta do desenvolvimento e agrupamento dos coeficientes de
e
; os coeficientes foram combinados conforme mostrado nos passos anteriores.)
Passo 7
Agora verifico que a derivada da primitiva encontrada é realmente
. Defina
onde
Faço
. Usando produto e derivadas de
e
, obtemos (após organizar termos)
Calculando
e
:
e substituindo, chega-se a
Portanto
o que confirma que
é de fato uma primitiva da integranda.