Calcule a integral
\int_{0}^{1}\left(x^{\mathrm{e}}+\mathrm{e}^{x}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\bigl(x^{e} + e^{x}\bigr)\,dx. O conteúdo envolve integrais definidas de uma função potência e de uma função exponencial. Vamos separar em duas integrais e usar a regra da potência para \int x^{a}\,dx e a integral da exponencial para \int e^{x}\,dx.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1}x^{e}\,dx. Aplicamos a fórmula
\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C.
Aqui a = e, logo
\int_{0}^{1}x^{e}\,dx = \left[\frac{x^{e+1}}{e+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{\,e+1}}{e+1} - 0 = \frac{1}{e+1}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{1}e^{x}\,dx. Sabemos que
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
então
\int_{0}^{1}e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Passo 4

Somando as duas parcelas,
\int_{0}^{1}\bigl(x^{e} + e^{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{e+1} + (e - 1).
Para simplificar, escrevemos
\frac{1}{e+1} + e - 1 = \frac{1 + (e+1)(e-1)}{e+1} = \frac{1 + e^{2} - 1}{e+1} = \frac{e^{2}}{e+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}}{e+1}

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