Resolva o integral
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx.
Este é um caso clássico em que a função decai rapidamente e podemos usar substituição para simplificar o expoente quadrático.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x^{2}, \qquad du = 2x\,dx \;\;\Longrightarrow\;\; x\,dx = \tfrac12\,du.
Quando x vai de 0 a +\infty, u também vai de 0 a +\infty. Logo,
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,\frac12\,du = \tfrac12 \int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du.

Passo 3

Agora avaliamos a integral padrão
\int_{0}^{+\infty} e^{-u}\,du = \bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{+\infty} = 0 - (-1) = 1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac12, obtemos
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \, dx = \tfrac12 \times 1 = \tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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