Dado um triângulo equilátero ABC de lado 10 , determine |\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero ABC de lado 10 e pede o valor de \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|.
Informações relevantes fornecidas:
  • O triângulo ABC é equilátero.
  • O comprimento do lado é 10, isto é, |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}|=10.
  • A pergunta é calcular \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|.

Passo 2

Vamos notar os vetores envolvidos e seus comprimentos:
  • Tome \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} como os vetores que saem do vértice A para B e para C.
  • Pelo enunciado, |\overrightarrow{AB}|=10 e |\overrightarrow{AC}|=10.

Passo 3

Usamos a definição geométrica do módulo do produto vetorial:
\left|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\right| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta,
onde \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores e \theta é o ângulo entre eles.
Explicação didática dessa fórmula:
  • |\mathbf{u}| é o comprimento (magnitude) do vetor \mathbf{u}.
  • |\mathbf{v}| é o comprimento do vetor \mathbf{v}.
  • \sin\theta dá a razão entre a altura do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v} e o comprimento de \mathbf{v}.
  • Geometricamente, \left|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\right| é a área do paralelogramo com lados \mathbf{u} e \mathbf{v}. Isso porque área = base × altura = |\mathbf{u}|\times(|\mathbf{v}|\sin\theta).

Passo 4

Determine o ângulo entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
Num triângulo equilátero todos os ângulos internos valem 60^\circ. Então o ângulo no vértice A (o ângulo entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}) é
\theta = 60^\circ.

Passo 5

Calcular \sin 60^\circ. Conhecimento básico de trigonometria (pode ser lembrado pela divisão de um triângulo equilátero em dois triângulos retângulos):
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Breve justificativa concreta: ao traçar a altura de um triângulo equilátero de lado 10, obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 10 e cateto oposto a 60^\circ igual a \tfrac{10\sqrt{3}}{2}, daí \sin 60^\circ = \tfrac{(10\sqrt{3}/2)}{10}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do Passo 3 com os valores que temos:
\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\,\sin\theta = 10\cdot 10\cdot \sin 60^\circ.
Substituindo \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}:
\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = 100\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3}.

Passo 7

Verificação alternativa usando área do triângulo (checa se bate):
  • Área do triângulo equilátero de lado a é \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2. Para a=10,
\text{Área} = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 100 = 25\sqrt{3}.Á
  • Como a área do triângulo formado por \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} é metade da área do paralelogramo, temos
\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = 25\sqrt{3},
portanto \left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=50\sqrt{3}, que coincide com o cálculo direto.

Resposta

50\sqrt{3}

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