Sejam os vetores \vec{u}=(1,-1,4) e \vec{v}=(3,2,-2). Determine um vetor que seja
(a) ortogonal a \vec{u} e \vec{v}
(b) ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e unitário
(c) ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e que tenha módulo 5

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-1,4) e \vec{v}=(3,2,-2) e pede três vetores:
(a) um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v};
(b) um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e unitário;
(c) um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e com módulo 5.
Informações relevantes que temos:
  • As componentes de \vec{u} são u_1=1, u_2=-1, u_3=4.
  • As componentes de \vec{v} são v_1=3, v_2=2, v_3=-2.
  • Precisamos de vetores em \mathbb{R}^3 ortogonais a ambos \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula e por que funciona): em \mathbb{R}^3, o produto vetorial (ou cross product) \vec{u}\times\vec{v} gera um vetor ortogonal simultaneamente a \vec{u} e a \vec{v}. A definição componente a componente é
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores \vec{u} e \vec{v}. Essa fórmula vem da expansão do determinante da matriz com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} e as componentes de \vec{u}, \vec{v}.
Agora aplico a fórmula com os valores dados:
\begin{aligned} u_2 v_3 - u_3 v_2 &= (-1)\cdot(-2) - 4\cdot 2 = 2 - 8 = -6,\\[4pt] u_3 v_1 - u_1 v_3 &= 4\cdot 3 - 1\cdot(-2) = 12 + 2 = 14,\\[4pt] u_1 v_2 - u_2 v_1 &= 1\cdot 2 - (-1)\cdot 3 = 2 + 3 = 5. \end{aligned}
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(-6,\,14,\,5).
Verificação rápida de ortogonalidade (propriedade do produto escalar): um vetor \vec{w} é ortogonal a \vec{u} se \vec{u}\cdot\vec{w}=0. Vou checar:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot(-6)+(-1)\cdot14+4\cdot5=-6-14+20=0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=3\cdot(-6)+2\cdot14+(-2)\cdot5=-18+28-10=0.
Como ambos são zero, ( -6,14,5 ) é de fato ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Assim uma resposta para (a) é \vec{w}=(-6,14,5).]

Passo 3

Agora precisamos transformar esse vetor em unitário para (b). Primeiro calculamos o módulo (norma) de \vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}. A fórmula do módulo de um vetor (a,b,c) é
\|\,(a,b,c)\,\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Aplicando:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-6)^2+14^2+5^2}=\sqrt{36+196+25}=\sqrt{257}.
Portanto o comprimento é \sqrt{257}.
Para normalizar (tornar unitário) dividimos o vetor pelo seu comprimento. Se \vec{w} tem módulo \|\vec{w}\|, o vetor unitário na mesma direção é \dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}. Assim o vetor unitário ortogonal a \vec{u} e \vec{v} é
\frac{1}{\sqrt{257}}(-6,\,14,\,5).
É fácil checar que esse vetor tem módulo 1 porque dividir por \sqrt{257} reduz o módulo de \sqrt{257} para 1.

Passo 4

Para (c) queremos um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} com módulo 5. Uma forma direta é pegar o vetor unitário da etapa anterior e multiplicá-lo por 5. Se \hat{w} é unitário, 5\hat{w} tem módulo 5. Portanto um vetor que serve é
\frac{5}{\sqrt{257}}(-6,\,14,\,5).
Alternativamente pode-se escalar diretamente \vec{u}\times\vec{v} por um fator k tal que k\sqrt{257}=5, ou seja k=5/\sqrt{257}, chegando ao mesmo resultado.

Passo 5

Recapitulando e fazendo rápidas checagens:
  • (a) (-6,14,5) é ortogonal a \vec{u} e \vec{v} (verificado pelos produtos escalares nulos).
  • (b) \dfrac{1}{\sqrt{257}}(-6,14,5) é ortogonal e tem módulo 1.
  • (c) \dfrac{5}{\sqrt{257}}(-6,14,5) é ortogonal e tem módulo 5.

Resposta

\,(-6,\,14,\,5)\n \dfrac{1}{\sqrt{257}}(-6,\,14,\,5)\n \dfrac{5}{\sqrt{257}}(-6,\,14,\,5)

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