Sejam os vetores
e
. Determine um vetor que seja
(a) ortogonal a
e
(b) ortogonal a
e
e unitário
(c) ortogonal a
e
e que tenha módulo 5
(a) ortogonal a
(b) ortogonal a
(c) ortogonal a
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três vetores:
(a) um vetor ortogonal a e
;
(b) um vetor ortogonal a e
e unitário;
(c) um vetor ortogonal a e
e com módulo
.
(a) um vetor ortogonal a
(b) um vetor ortogonal a
(c) um vetor ortogonal a
Informações relevantes que temos:
- As componentes de
são , , . - As componentes de
são , , . - Precisamos de vetores em
ortogonais a ambos e .
Passo 2
Ideia-chave (fórmula e por que funciona): em
, o produto vetorial (ou cross product)
gera um vetor ortogonal simultaneamente a
e a
. A definição componente a componente é
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores
e
. Essa fórmula vem da expansão do determinante da matriz com as bases
e as componentes de
,
.
Agora aplico a fórmula com os valores dados:
Portanto
Verificação rápida de ortogonalidade (propriedade do produto escalar): um vetor
é ortogonal a
se
. Vou checar:
Como ambos são zero,
é de fato ortogonal a
e
. Assim uma resposta para (a) é
.]
Passo 3
Agora precisamos transformar esse vetor em unitário para (b). Primeiro calculamos o módulo (norma) de
. A fórmula do módulo de um vetor
é
Aplicando:
Portanto o comprimento é
.
Para normalizar (tornar unitário) dividimos o vetor pelo seu comprimento. Se
tem módulo
, o vetor unitário na mesma direção é
. Assim o vetor unitário ortogonal a
e
é
É fácil checar que esse vetor tem módulo
porque dividir por
reduz o módulo de
para
.
Passo 4
Para (c) queremos um vetor ortogonal a
e
com módulo
. Uma forma direta é pegar o vetor unitário da etapa anterior e multiplicá-lo por
. Se
é unitário,
tem módulo
. Portanto um vetor que serve é
Alternativamente pode-se escalar diretamente
por um fator
tal que
, ou seja
, chegando ao mesmo resultado.
Passo 5
Recapitulando e fazendo rápidas checagens:
- (a)
é ortogonal a e (verificado pelos produtos escalares nulos). - (b)
é ortogonal e tem módulo . - (c)
é ortogonal e tem módulo .