Calcule a integral.
\int e^{-3 n} \operatorname{sen} 5 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado nos dá a integral indefinida em relação a \theta:
\int e^{-3n}\sen5\theta \,d\theta
Aqui o conteúdo é integração básica de funções trigonométricas e manipulação de constantes.

Passo 2

Note que e^{-3n} é constante em relação a \theta. Podemos, portanto, fatorá-la para fora da integral:
\int e^{-3n}\sen5\theta \,d\theta = e^{-3n}\int \sen5\theta \,d\theta.

Passo 3

Para integrar \sen5\theta, usamos a fórmula
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx).
Aqui k = 5, logo
\int \sen5\theta \,d\theta = -\frac{1}{5}\cos5\theta + C_1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator constante e^{-3n}, obtemos
e^{-3n}\Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos5\theta + C_1\Bigr) = -\frac{e^{-3n}}{5}\cos5\theta + C,
onde definimos C = e^{-3n}C_1 como constante arbitrária final.

Resposta

-\frac{e^{-3n}}{5}\cos5\theta + C

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