Calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{2} 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^2(4x)\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas para reduzir a potência de \tan e, em seguida, aplicar integrais padrão.

Passo 2

Usamos a identidade
\tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1.

Passo 3

Substituindo \theta = 4x na integral, temos
\int \tan^2(4x)\,dx = \int\bigl(\operatorname{sec}^2(4x)-1\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^2(4x)\,dx \;-\; \int 1\,dx.

Passo 4

Para \int \operatorname{sec}^2(4x)\,dx fazemos a substituição u=4x, du=4\,dx, obtendo
\int \operatorname{sec}^2(4x)\,dx = \frac{1}{4}\int \operatorname{sec}^2(u)\,du = \frac{1}{4}\tan(u) = \frac{1}{4}\tan(4x).
\int 1\,dx = x. Somando os resultados e adicionando a constante de integração C,
\int \tan^2(4x)\,dx = \frac{1}{4}\tan(4x) - x + C.

Resposta

\frac{1}{4}\tan(4x) - x + C.

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