Calcule a integral.
\int \operatorname{sen}^{2} \pi x \cos ^{4} \pi x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de potências de seno e cosseno, para o qual vamos usar as fórmulas de redução de potência:
\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \qquad \cos^4\theta = \Bigl(\cos^2\theta\Bigr)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)^2.

Passo 2

Aplicamos as reduções de potência com \theta = \pi x:
\operatorname{sen}^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2},
\cos^4(\pi x) = \left(\frac{1 + \cos(2\pi x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2\pi x) + \cos^2(2\pi x)}{4}.
Logo o integrando fica
\operatorname{sen}^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2} \;\cdot\; \frac{1 + 2\cos(2\pi x) + \cos^2(2\pi x)}{4} = \frac{1}{8}\bigl(1 - \cos(2\pi x)\bigr)\bigl(1 + 2\cos(2\pi x) + \cos^2(2\pi x)\bigr).

Passo 3

Expandimos o produto e simplificamos usando \cos^2(2\pi x)=\tfrac{1+\cos(4\pi x)}{2}:
\begin{aligned} (1 - C)\,(1 + 2C + C^2) &=1 +2C +C^2 -C -2C^2 -C^3\\\ &=1 +C -C^2 -C^3, \quad\text{onde }C=\cos(2\pi x). \end{aligned}
Substituindo C^2 = \tfrac{1+\cos(4\pi x)}{2} e C^3 = C\cdot C^2, obtemos após reorganizar
\operatorname{sen}^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x) = \frac{1}{8}\bigl[1 + \tfrac12\cos(2\pi x) - \cos(4\pi x) - \tfrac12\cos(6\pi x)\bigr].

Passo 4

Agora escrevemos a integral como soma de termos fáceis de integrar:
\int \operatorname{sen}^2(\pi x)\cos^4(\pi x)\,dx = \int \Bigl[ \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\cos(2\pi x) - \frac{1}{8}\cos(4\pi x) - \frac{1}{16}\cos(6\pi x) \Bigr]dx.
Integramos termo a termo, lembrando que
\displaystyle\int \cos(n\pi x)\,dx = \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x).

Passo 5

Calculando cada pedaço:
\int \frac{1}{8}\,dx = \frac{x}{8}, \qquad \int \frac{1}{16}\cos(2\pi x)\,dx = \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi x) = \frac{1}{32\pi}\sin(2\pi x),
\int -\frac{1}{8}\cos(4\pi x)\,dx = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4\pi}\sin(4\pi x) = -\frac{1}{32\pi}\sin(4\pi x),
\int -\frac{1}{16}\cos(6\pi x)\,dx = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{6\pi}\sin(6\pi x) = -\frac{1}{96\pi}\sin(6\pi x).
Somando tudo e adicionando a constante de integração C, chega-se ao resultado final.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^2(\pi x)\,\cos^4(\pi x)\,dx = \frac{x}{8} + \frac{1}{32\pi}\sin(2\pi x) - \frac{1}{32\pi}\sin(4\pi x) - \frac{1}{96\pi}\sin(6\pi x) + C. }

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