Calcule a integral:
\int \cos ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Informações dadas: a função a integrar é \cos^{2}\theta e queremos uma primitiva (ou antiderivada), ou seja, uma expressão cuja derivada seja \cos^{2}\theta. Precisamos também incluir a constante de integração C.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (vamos derivá‑la passo a passo): comece da fórmula do cosseno do ângulo duplo
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Usando \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta obtemos
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Rearranjando para \cos^{2}\theta aparece a identidade chamada “fórmula do ângulo metade” (ou meia‑ângulo):
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Essa identidade é útil porque transforma o quadrado do cosseno numa soma de termos fáceis de integrar.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral:
\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta.
Usando linearidade da integral (posso separar soma e fator constante), temos
\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\int 1\,d\theta+\frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta.
Vou calcular cada parcela separadamente.

Passo 4

A primeira parcela é direta:
\frac{1}{2}\int 1\,d\theta=\frac{1}{2}\theta.
Explicação rápida: a antiderivada de 1 em relação a \theta é \theta, porque \frac{d}{d\theta}(\theta)=1.

Passo 5

Agora a segunda parcela \displaystyle \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta.
Há duas maneiras práticas; uso a regra padrão para \int \cos(a\theta)\,d\theta que dá \frac{1}{a}\sin(a\theta), ou faço substituição explícita. Faço substituição breve para ficar bem claro:
Seja u=2\theta. Então du=2\,d\theta e d\theta=\dfrac{du}{2}. Assim
\frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta=\frac{1}{2}\int \cos(u)\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
A antiderivada de \cos(u) é \sin(u), logo
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du=\frac{1}{4}\sin(u)=\frac{1}{4}\sin(2\theta).

Passo 6

Agora juntamos as duas parcelas e adicionamos a constante de integração C:
\int \cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+C.
Como observação alternativa, usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta dá também a forma
\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}=\frac{\theta}{2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{2},
que às vezes é mais conveniente dependendo do problema.

Resposta

\displaystyle \frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C

Exercícios relacionados