Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi / 2}(\cos (x)+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\int_{0}^{\pi/2} \bigl(\cos(x) + 2\bigr)\,dx
Este é um problema de cálculo de integrais de funções elementares, em que usaremos a propriedade de linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar as primitivas.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar em duas partes:
\int_{0}^{\pi/2} \bigl(\cos(x) + 2\bigr)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,dx + \int_{0}^{\pi/2} 2\,dx.

Passo 3

Calculemos cada uma:
- Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,dx, a primitiva de \cos(x) é \sin(x). Logo,
\int_{0}^{\pi/2} \cos(x)\,dx = \sin(x)\Big|_{0}^{\pi/2} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \sin(0) = 1 - 0 = 1.
- Para \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2\,dx, a primitiva de 2 é 2x. Então,
\int_{0}^{\pi/2} 2\,dx = 2x\Big|_{0}^{\pi/2} = 2\cdot\tfrac{\pi}{2} - 0 = \pi.

Passo 4

Somando os resultados das duas integrais, obtemos
1 + \pi.

Resposta

\pi + 1

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