Calcule a integral:
\int_{0}^{1}\left(x+e^{x}+\cos (x)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x + e^{x} + \cos(x)\bigr)\,dx
que é uma soma de três integrais mais simples. Vamos usar a propriedade de linearidade
\int_{0}^{1}\bigl(f(x)+g(x)+h(x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{0}^{1}g(x)\,dx+\int_{0}^{1}h(x)\,dx
e calcular cada termo separadamente.

Passo 2

Para \displaystyle \int_{0}^{1} x\,dx usamos a antiderivada \tfrac{x^{2}}{2}. Logo,
\int_{0}^{1} x\,dx =\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\tfrac{1^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2} =\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx usamos a antiderivada e^{x}. Portanto,
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx =\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{1} =e^{1}-e^{0} =e-1.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{1} \cos(x)\,dx usamos a antiderivada \sin(x). Assim,
\int_{0}^{1} \cos(x)\,dx =\bigl[\sin(x)\bigr]_{0}^{1} =\sin(1)-\sin(0) =\sin(1).

Passo 5

Somando os três resultados pela linearidade, temos
\int_{0}^{1}\bigl(x + e^{x} + \cos(x)\bigr)\,dx =\tfrac{1}{2} \;+\;(e-1)\;+\;\sin(1) =e - \tfrac{1}{2} + \sin(1).

Resposta

e - \tfrac{1}{2} + \sin(1)

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