Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
e
; a integranda é o produto de
por
. A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral (em termos de funções elementares).
Passo 2
Observação e escolha do método: a presença de
multiplicando uma função de
sugere fazer uma troca de variável simples que transforme a composição
em
. Vou então definir a substituição
Agora calculo a diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
tenho
Isso é ótimo porque
aparece exatamente na integral original — assim a integral fica bem mais simples em termos de
.
Passo 3
Troca dos limites de integração: como estou fazendo uma integral definida, preciso transformar os limites em termos de
.
Quando temos
Quando
Quando
temos
Portanto os novos limites são
a
.
Passo 4
Substituição na integral: usando
e
, a integral transforma-se em
Aqui a integranda ficou muito mais simples: apenas
.
Passo 5
Calcular a primitiva de
: sabemos que a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. Em forma:
Explicação curta: diferencio
e obtenho
, o que confirma que é a primitiva correta.
Passo 6
Avaliar a integral definida usando a primitiva: aplicando os limites de
a
,
Como
, isso dá
Passo 7
Comentário didático final e verificação: a antiderivada no variável original
é
pois substituindo
obtemos
. Verificação rápida: derivando
em relação a
usando a regra da cadeia dá
, que é exatamente a integranda. Tudo consistente!