Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos x \operatorname{sen}(\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos x \,\sin(\sin x)\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são x=0 e x=\pi/2; a integranda é o produto de \cos x por \sin(\sin x). A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral (em termos de funções elementares).

Passo 2

Observação e escolha do método: a presença de \cos x\,dx multiplicando uma função de \sin x sugere fazer uma troca de variável simples que transforme a composição \sin(\sin x) em \sin(u). Vou então definir a substituição
u=\sin x.
Agora calculo a diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a x tenho
du=\cos x\,dx.
Isso é ótimo porque \cos x\,dx aparece exatamente na integral original — assim a integral fica bem mais simples em termos de u.

Passo 3

Troca dos limites de integração: como estou fazendo uma integral definida, preciso transformar os limites em termos de u.
Quando x=0 temos
u=\sin 0 = 0.
Quando x=\pi/2 temos
u=\sin(\pi/2)=1.
Portanto os novos limites são u=0 a u=1.

Passo 4

Substituição na integral: usando u=\sin x e du=\cos x\,dx, a integral transforma-se em
\int_{0}^{\pi/2} \cos x\,\sin(\sin x)\,dx = \int_{0}^{1} \sin u\,du.
Aqui a integranda ficou muito mais simples: apenas \sin u.

Passo 5

Calcular a primitiva de \sin u: sabemos que a derivada de \cos u é -\sin u, portanto uma primitiva de \sin u é -\cos u. Em forma:
\int \sin u\,du = -\cos u + C.
Explicação curta: diferencio -\cos u e obtenho -(-\sin u)=\sin u, o que confirma que é a primitiva correta.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando a primitiva: aplicando os limites de 0 a 1,
\int_{0}^{1} \sin u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{1} = -\cos 1 - \bigl(-\cos 0\bigr) = -\cos 1 + \cos 0.
Como \cos 0 = 1, isso dá
-\cos 1 + 1 = 1 - \cos 1.

Passo 7

Comentário didático final e verificação: a antiderivada no variável original x é
-\cos(\sin x)+C,
pois substituindo u=\sin x obtemos -\cos u. Verificação rápida: derivando -\cos(\sin x) em relação a x usando a regra da cadeia dá \sin(\sin x)\cdot\cos x, que é exatamente a integranda. Tudo consistente!

Resposta

1-\cos 1

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