Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador). f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } -\frac{1}{2} \pi<x<\frac{1}{2} \pi \\\\ 0 & \text { se } & \frac{1}{2} \pi<x<\frac{3}{2} \pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio trigonométrico [F(x)) da forma (2) que minimiza o erro quadrado (norma L^2) em relação à função f(x) no intervalo -\pi\le x\le\pi, e calcular o valor mínimo desse erro para N=1,2,\dots,5.
Observação importante sobre a definição em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})\]: interpretamos essa segunda parte como a parte complementar na circunferência de período \[2\pi. Ou seja, no intervalo -\pi<x<\pi isso equivale a
com valores nos pontos de fronteira irrelevantes para integráveis.
O que é pedido explicitamente:
Determinar F(x)\] da forma trigonométrica truncada (a forma (2) padrão)
\[\text{(forma (2))}\qquad F_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr)\]
que minimiza o erro quadrado \(\displaystyle E(F)=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F(x)\bigr)^2\,dx.
Calcular o valor mínimo E_{\min}(N) para N=1,2,\dots,5.]
Passo 2
Princípio teórico (explicado devagar): o subespaço das funções trigonométricas de ordem até N é um subespaço linear de L^2([-\pi,\pi]) e as funções
1,\\ \cos nx,\\ \sin nx\quad (n=1,2,\dots)
são ortogonais em [-\pi,\pi] (propriedade de ortogonalidade das funções trigonométricas). O melhor ajuste em norma L^2 é a projeção ortogonal de f nesse subespaço — isto é, os coeficientes a_n,b_n que minimizam o erro são exatamente os coeficientes de Fourier dados por:
Justificativa breve: por ortogonalidade, a diferença f-F_N é ortogonal a todo \cos nx e \sin nx quando os coeficientes são essas integrais; isso garante o mínimo do erro quadrado.
Também usaremos a identidade tipo Parseval para o erro mínimo: se F_N é a projeção, então