Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } -\frac{1}{2} \pi<x<\frac{1}{2} \pi \\\\ 0 & \text { se } & \frac{1}{2} \pi<x<\frac{3}{2} \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o polinômio trigonométrico [F(x)) da forma (2) que minimiza o erro quadrado (norma L^2) em relação à função f(x) no intervalo -\pi\le x\le\pi, e calcular o valor mínimo desse erro para N=1,2,\dots,5.
Informações fornecidas:
f(x)=\begin{cases} x,& -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0,& \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}. \end{cases}
Observação importante sobre a definição em (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})\]: interpretamos essa segunda parte como a parte complementar na circunferência de período \[2\pi. Ou seja, no intervalo -\pi<x<\pi isso equivale a
f(x)=\begin{cases} x,& |x|<\tfrac{\pi}{2},\\[4pt] 0,& \tfrac{\pi}{2}<|x|<\pi, \end{cases}
com valores nos pontos de fronteira irrelevantes para integráveis.
O que é pedido explicitamente:
  • Determinar F(x)\] da forma trigonométrica truncada (a forma (2) padrão) \[\text{(forma (2))}\qquad F_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr)\] que minimiza o erro quadrado \(\displaystyle E(F)=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F(x)\bigr)^2\,dx.
  • Calcular o valor mínimo E_{\min}(N) para N=1,2,\dots,5.]

Passo 2

Princípio teórico (explicado devagar): o subespaço das funções trigonométricas de ordem até N é um subespaço linear de L^2([-\pi,\pi]) e as funções
1,\\ \cos nx,\\ \sin nx\quad (n=1,2,\dots)
são ortogonais em [-\pi,\pi] (propriedade de ortogonalidade das funções trigonométricas). O melhor ajuste em norma L^2 é a projeção ortogonal de f nesse subespaço — isto é, os coeficientes a_n,b_n que minimizam o erro são exatamente os coeficientes de Fourier dados por:
Fórmulas (aulas curtas sobre cada símbolo):
  • a_0 é a média multiplicada por 1/\pi:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
  • Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Justificativa breve: por ortogonalidade, a diferença f-F_N é ortogonal a todo \cos nx e \sin nx quando os coeficientes são essas integrais; isso garante o mínimo do erro quadrado.
Também usaremos a identidade tipo Parseval para o erro mínimo: se F_N é a projeção, então
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx =\pi\left(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\right).
Daí o erro mínimo ao truncar em N é
E_{\min}(N)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx -\pi\left(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{N}(a_n^2+b_n^2)\right).
No nosso caso veremos que muitos a_n são nulos por simetria.

Passo 3

Análise da simetria de f: verifique f(-x)=-f(x) para todo x (a definição indica f ímpar), pois:
  • se |x|<\tfrac{\pi}{2} então f(x)=x e f(-x)=-x;
  • se \tfrac{\pi}{2}<|x|<\pi então f(x)=0 e f(-x)=0.
Consequências diretas:
  • f é função ímpar \Rightarrow todos os coeficientes a_0 e a_n (coeficientes de cosseno) são zero, pois integrando paridade par/ímpar obtém-se zero:
a_0=0,\qquad a_n=0\\ \text{para todo }n\ge1.
  • Apenas os coeficientes b_n (coeficientes de seno) podem ser não nulos. Assim o polinômio ótimo tem a forma
F_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin(nx).
Agora calculamos b_n. Usando a definição e a restrição de suporte de f:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x)\sin(nx) é função par (produto de duas ímpares), podemos dobrar o integral em 0 a \pi e, lembrando que f(x)=0 para x\in(\tfrac{\pi}{2},\pi),
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx.
Cálculo do integral por partes (explicando cada símbolo):
  • Tome u=x e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
  • Assim
\int_0^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx.
A integral restante dá \dfrac{\sin(nx)}{n^2} ao avaliar de 0 a \pi/2. Portanto
\int_0^{\pi/2} x\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\cos\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n}+\frac{\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n^2}.
Multiplicando por 2/\pi:
\boxed{\,b_n=-\frac{\cos\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n}+\frac{2}{\pi n^2}\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)\,}
Agora simplificamos notando os valores de \sin e \cos em múltiplos de \pi/2:
  • Se n é par, \sin(n\pi/2)=0 e \cos(n\pi/2)=(-1)^{n/2}. Portanto, para n par
b_n=-\frac{(-1)^{n/2}}{n}=\frac{(-1)^{n/2+1}}{n}.
  • Se n é ímpar, \cos(n\pi/2)=0 e \sin(n\pi/2)=(-1)^{(n-1)/2}. Portanto, para n ímpar
b_n=\frac{2}{\pi n^2}(-1)^{(n-1)/2}=\frac{2(-1)^{(n-1)/2}}{\pi n^2}.
Resumo útil (guarde isto para a prova):
b_n=\begin{cases} \dfrac{(-1)^{n/2+1}}{n},& n\\ \text{par},\\[8pt] \dfrac{2(-1)^{(n-1)/2}}{\pi n^2},& n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 4

Calculamos a energia total \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx, necessária para o erro mínimo:
Como f é não nula só em (-{\pi}/{2},{\pi}/{2}) onde f(x)=x,
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2\,dx =2\int_{0}^{\pi/2} x^2\,dx =2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi/2} =2\cdot\frac{(\pi/2)^3}{3} =\frac{\pi^3}{12}.

Passo 5

Usando Parseval e o fato a_0=a_n=0, o erro mínimo para truncamento em N é
\boxed{\,E_{\min}(N)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx-\pi\sum_{n=1}^{N} b_n^2 =\frac{\pi^3}{12}-\pi\sum_{n=1}^{N} b_n^2\,.}
Para computações é conveniente notar as formas de \pi b_n^2:
  • Se n é par, b_n^2=\dfrac{1}{n^2} e \pi b_n^2=\dfrac{\pi}{n^2}.
  • Se n é ímpar, b_n^2=\dfrac{4}{\pi^2 n^4} e \pi b_n^2=\dfrac{4}{\pi n^4}.
Usaremos isso para somar as contribuições até N.

Passo 6

Calculamos explicitamente b_n e b_n^2 para n=1,2,3,4,5 — eu faço devagar para você poder replicar na prova.
  • n=1 (ímpar):
b_1=\frac{2}{\pi\cdot 1^2}= \frac{2}{\pi},\qquad b_1^2=\frac{4}{\pi^2},\qquad \pi b_1^2=\frac{4}{\pi}.
  • n=2 (par):
b_2=\frac{(-1)^{2/2+1}}{2}=\frac{(-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2},\qquad b_2^2=\frac{1}{4},\qquad \pi b_2^2=\frac{\pi}{4}.
  • n=3 (ímpar):
b_3=\frac{2(-1)^{(3-1)/2}}{\pi\cdot 3^2}=\frac{2(-1)^1}{9\pi}=-\frac{2}{9\pi},
b_3^2=\frac{4}{81\pi^2},\qquad \pi b_3^2=\frac{4}{81\pi}.
  • n=4 (par):
b_4=\frac{(-1)^{4/2+1}}{4}=\frac{(-1)^{3}}{4}=-\frac{1}{4}, \qquad b_4^2=\frac{1}{16},\qquad \pi b_4^2=\frac{\pi}{16}.
  • n=5 (ímpar):
b_5=\frac{2(-1)^{(5-1)/2}}{\pi\cdot 5^2}=\frac{2(-1)^2}{25\pi}=\frac{2}{25\pi},
b_5^2=\frac{4}{625\pi^2},\qquad \pi b_5^2=\frac{4}{625\pi}.
Também, para referência, o polinômio ótimo de ordem N tem forma geral
F_N(x)=\sum_{n=1}^N b_n\sin(nx),
com b_n dados nas fórmulas do Passo 3.

Passo 7

Agora escrevemos as expressões exatas para E_{\min}(N) e fornecemos aproximações numéricas (usei \pi\approx 3{,}141592653589793).
  • N=1:
E_{\min}(1)=\frac{\pi^3}{12}-\pi\cdot b_1^2 =\frac{\pi^3}{12}-\frac{4}{\pi}.
Valor numérico:
E_{\min}(1)\approx 2{,}583856390024985-1{,}273239544735163 \approx 1{,}310616845289822.
  • N=2:
E_{\min}(2)=\frac{\pi^3}{12}-\pi\bigl(b_1^2+b_2^2\bigr) =\frac{\pi^3}{12}-\Bigl(\frac{4}{\pi}+\frac{\pi}{4}\Bigr).
Valor numérico:
E_{\min}(2)\approx 2{,}583856390024985-2{,}058637708132611 \approx 0{,}525218681892374.
  • N=3:
E_{\min}(3)=\frac{\pi^3}{12}-\pi\bigl(b_1^2+b_2^2+b_3^2\bigr) =\frac{\pi^3}{12}-\Bigl(\frac{4}{\pi}+\frac{\pi}{4}+\frac{4}{81\pi}\Bigr).
Valor numérico:
E_{\min}(3)\approx 2{,}583856390024985-2{,}074361148434268 \approx 0{,}509495241590717.
  • N=4:
E_{\min}(4)=\frac{\pi^3}{12}-\Bigl(\frac{4}{\pi}+\frac{\pi}{4}+\frac{4}{81\pi}+\frac{\pi}{16}\Bigr).
Valor numérico:
E_{\min}(4)\approx 2{,}583856390024985-2{,}270710689283629 \approx 0{,}313145700741356.
  • N=5:
E_{\min}(5)=\frac{\pi^3}{12}-\Bigl(\frac{4}{\pi}+\frac{\pi}{4}+\frac{4}{81\pi}+\frac{\pi}{16}+\frac{4}{625\pi}\Bigr).
Valor numérico:
E_{\min}(5)\approx 2{,}583856390024985-2{,}272747872555206 \approx 0{,}311108517469779.

Resposta

N=1:\qquad F_1(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin x,\qquad E_{\min}(1)=\dfrac{\pi^3}{12}-\dfrac{4}{\pi}\approx 1{,}310616845289822.\
N=2:\qquad F_2(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x,\qquad E_{\min}(2)=\dfrac{\pi^3}{12}-\Bigl(\dfrac{4}{\pi}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\approx 0{,}525218681892374.\
N=3:\qquad F_3(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x-\dfrac{2}{9\pi}\sin 3x,\qquad E_{\min}(3)=\dfrac{\pi^3}{12}-\Bigl(\dfrac{4}{\pi}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4}{81\pi}\Bigr)\approx 0{,}509495241590717.\
N=4:\qquad F_4(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x-\dfrac{2}{9\pi}\sin 3x-\dfrac{1}{4}\sin 4x,\qquad E_{\min}(4)=\dfrac{\pi^3}{12}-\Bigl(\dfrac{4}{\pi}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4}{81\pi}+\dfrac{\pi}{16}\Bigr)\approx 0{,}313145700741356.\
N=5:\qquad F_5(x)=\dfrac{2}{\pi}\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x-\dfrac{2}{9\pi}\sin 3x-\dfrac{1}{4}\sin 4x+\dfrac{2}{25\pi}\sin 5x,\qquad E_{\min}(5)=\dfrac{\pi^3}{12}-\Bigl(\dfrac{4}{\pi}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4}{81\pi}+\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{4}{625\pi}\Bigr)\approx 0{,}311108517469779.

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