Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador).
f(x)=x(x+\pi) se -\pi<x<0, f(x)=x(-x+\pi) se 0<x<\pi

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pediu: "Encontre o polinômio trigonométrico F(x)\) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função \(f(x)\) no intervalo \(-\pi\leqq x\leqq\pi\) é mínimo, e calcule o valor mínimo para \(N=1,2,\ldots,5\)". - Informação dada sobre a função \(f\): \[f(x)=\begin{cases} x(x+\pi), & -\pi<x<0,\\[4pt] x(-x+\pi), & 0<x<\pi, \end{cases}e f(0)=0\] (pelas duas fórmulas). - Intervalo de trabalho: \(-\pi\le x\le\pi.
    - Pedidos concretos que vou responder ao final: para cada N=1,2,3,4,5 tenho que dar (i) o polinômio trigonométrico ótimo F_N(x) da forma truncada de grau N e (ii) o valor mínimo do erro quadrado E_N=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F_N(x)\bigr)^2\,dx.]

Passo 2

Escolha do método (explicação amigável do porquê): projeção em bases trigonométricas
  • Quando queremos minimizar o erro quadrado entre f e um polinômio trigonométrico de grau N, estamos projetando f sobre o subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos(Nx),\sin(Nx)\} no espaço L^2([-\pi,\pi]) com produto interno \langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx.
  • Propriedade-chave (intuitiva e muito útil): a projeção ortogonal sobre esse subespaço é dada pelos coeficientes de Fourier de f até ordem N. Ou seja, o polinômio trigonométrico que minimiza o erro quadrado é exatamente a soma das primeiras N componentes da série de Fourier de f.
  • Logo: precisamos calcular os coeficientes de Fourier de f e tomar o somatório das componentes até N. Vou mostrar isso na prática — e prometo ir passo a passo nas contas.

Passo 3

Observação de simetria (isso simplifica MUITO as contas)
  • Verifico a paridade de f. Para x\in(0,\pi), f(-x)=(-x)((-x)+\pi)=x^2-\pi x=-\bigl(-x^2+\pi x\bigr)=-f(x).Portanto f é ímpar: f(-x)=-f(x).
  • Consequência prática: na série de Fourier só aparecem termos senoidais. O termo constante a_0 e todos os coeficientes a_n das cossenos são zero. O melhor polinômio trigonométrico de grau N tem a forma F_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin(nx),com coeficientes b_n dados por b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.Como f e \sin(nt) são ímpares, o produto é par, e podemos escrever b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.

Passo 4

Cálculo explícito dos coeficientes b_n
  • Para t\in(0,\pi) temos f(t)=-t^2+\pi t. Definindo
    I_n=\int_{0}^{\pi}\bigl(-t^2+\pi t\bigr)\sin(nt)\,dt,
    então b_n=\dfrac{2}{\pi}I_n.
  • Vou calcular I_n por partes, quebrando em duas integrais:
    I_n=-\int_{0}^{\pi} t^2\sin(nt)\,dt+\pi\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt.
    Calcule as duas integrais auxiliares.
    1. Calcule J_1=\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt. Fazendo integração por partes com u=t, dv=\sin(nt)\,dt (logo du=dt, v=-\dfrac{\cos(nt)}{n}):
      J_1=\left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt.
      A integral de \cos(nt) em 0 a \pi é \dfrac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n}=0. Assim
      J_1=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
    2. Calcule J_2=\int_{0}^{\pi} t^2\sin(nt)\,dt. Integração por partes com u=t^2, dv=\sin(nt)\,dt du=2t\,dt, v=-\dfrac{\cos(nt)}{n}:
      J_2=\left[-\frac{t^2\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt.
      A primeira parcela é -\dfrac{\pi^2\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi^2(-1)^n}{n}. Agora calcule K=\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt. Integração por partes com u=t, dv=\cos(nt)\,dt ( v=\dfrac{\sin(nt)}{n}) dá
      K=\left[\frac{t\sin(nt)}{n}\right]_0^{\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt =0-\frac{1}{n}\left[-\frac{\cos(nt)}{n}\right]_0^{\pi}.
      A integral \int_0^\pi \sin(nt)\,dt=\dfrac{1-(-1)^n}{n}. Portanto
      K=-\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
      Voltando a J_2,
      J_2=-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}+\frac{2}{n}\,K =-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}-\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3}.
  • Agora I_n=-J_2+\pi J_1. Substituindo J_1 e J_2:
    I_n=-\Bigl(-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}-\frac{2(1-(-1)^n)}{n^3}\Bigr) +\pi\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\Bigr).
    Os termos com \pi^2(-1)^n/n se cancelam, restando
    I_n=\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3}.
  • Portanto
    b_n=\frac{2}{\pi}I_n=\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi n^3}.
    Observe que 1-(-1)^n=0 para n par e =2 para n ímpar. Assim, finalmente,
    b_n=\begin{cases} \dfrac{8}{\pi n^3}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par}. \end{cases}í]

Passo 5

Forma explícita do polinômio ótimo F_N(x)
  • Usando os coeficientes acima, F_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin(nx) =\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{8}{\pi n^3}\sin(nx).í(termos pares não aparecem porque b_n=0 para n par.)

Passo 6

Fórmula do erro mínimo (intuição via ortogonalidade / Parseval)
  • A diferença residual r_N(x)=f(x)-F_N(x) é ortogonal a todas as funções do subespaço gerador (propriedade da projeção). Pelo teorema de Pitágoras em L^2, \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)^2\,dx+\int_{-\pi}^{\pi} r_N(x)^2\,dx.Logo o erro mínimo procurado é E_N=\int_{-\pi}^{\pi} r_N(x)^2\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx-\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)^2\,dx.
  • Usando ortonormalidade das senóides \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\pi\delta_{nm}, obtemos \int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)^2\,dx=\pi\sum_{n=1}^{N} b_n^2 =\pi\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{64}{\pi^2 n^6} =\frac{64}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{1}{n^6}.íí
  • Portanto uma forma conveniente do erro mínimo é E_N=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx-\frac{64}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{1}{n^6}.í

Passo 7

Cálculo do termo \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx (energia total)
  • f^2 é par, então \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx=2\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx.
  • Expansão e integração direta (passo a passo): \bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2=x^4-2\pi x^3+\pi^2 x^2.Assim \int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx =\int_{0}^{\pi}x^4\,dx-2\pi\int_{0}^{\pi}x^3\,dx+\pi^2\int_{0}^{\pi}x^2\,dx.Calcule cada integral: \int_{0}^{\pi}x^4\,dx=\frac{\pi^5}{5},\qquad \int_{0}^{\pi}x^3\,dx=\frac{\pi^4}{4},\qquad \int_{0}^{\pi}x^2\,dx=\frac{\pi^3}{3}.Substituindo: \int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx =\frac{\pi^5}{5}-2\pi\cdot\frac{\pi^4}{4}+\pi^2\cdot\frac{\pi^3}{3} =\pi^5\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Bigr).O fator entre parênteses vale \dfrac{1}{30}. Logo \int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx=\frac{\pi^5}{30}.Finalmente, \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = 2\cdot\frac{\pi^5}{30}=\frac{\pi^5}{15}.

Passo 8

Fórmula final do erro mínimo e aplicação para N=1,2,3,4,5
  • Substituindo \int_{-\pi}^{\pi} f^2=\dfrac{\pi^5}{15} em E_N, temos a expressão exata E_N=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{1}{n^6}.í
  • Para praticidade, observamos que os coeficientes são nulos para n par, então E_N muda apenas quando N passa por um inteiro ímpar. Assim:
    • N=1: soma \sum_{n\\ \text{ímpar}\le1}\frac{1}{n^6}=1í. E_1=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}.
    • N=2: mesmo que N=1 (não adicionamos termos ímpares novos), então E_2=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}.
    • N=3: soma inclui n=1,3, ou seja 1+\dfrac{1}{3^6}=1+\dfrac{1}{729}=\dfrac{730}{729}. Assim E_3=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{730}{729}.
    • N=4: mesmo que N=3, pois 4 é par: E_4=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{730}{729}.
    • N=5: soma inclui n=1,3,5, ou seja 1+\dfrac{1}{729}+\dfrac{1}{15625}=\dfrac{11406979}{11390625}. Logo E_5=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{11406979}{11390625}.
  • Valores numéricos aproximados (para ter noção do quão rápido o erro cai): E_1\approx 0{,}0294796,\quad E_2\approx 0{,}0294796,\quad E_3\approx 0{,}0015356,\quad E_4\approx 0{,}0015356,\quad E_5\approx 0{,}0002311.

Resposta

N=1: \;E_1=\dfrac{\pi^5}{15}-\dfrac{64}{\pi}\approx 0{,}0294796
N=2: \;E_2=\dfrac{\pi^5}{15}-\dfrac{64}{\pi}\approx 0{,}0294796
N=3: \;E_3=\dfrac{\pi^5}{15}-\dfrac{64}{\pi}\cdot\dfrac{730}{729}\approx 0{,}0015356
N=4: \;E_4=\dfrac{\pi^5}{15}-\dfrac{64}{\pi}\cdot\dfrac{730}{729}\approx 0{,}0015356
N=5: \;E_5=\dfrac{\pi^5}{15}-\dfrac{64}{\pi}\cdot\dfrac{11406979}{11390625}\approx 0{,}0002311

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