Encontre o polinômio trigonométrico F(x) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função f(x) dada no intervalo -\pi \leqq x \leqq \pi é mínimo, e calcule o valor mínimo para N=1,2, \ldots, 5 (ou também para valores maiores, caso você estiver usando um computador). f(x)=x(x+\pi) se -\pi<x<0, f(x)=x(-x+\pi) se 0<x<\pi
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pediu: "Encontre o polinômio trigonométrico F(x)\) com a forma (2) para o qual o erro quadrado em relação à função \(f(x)\) no intervalo \(-\pi\leqq x\leqq\pi\) é mínimo, e calcule o valor mínimo para \(N=1,2,\ldots,5\)".
- Informação dada sobre a função \(f\):
\[f(x)=\begin{cases} x(x+\pi), & -\pi<x<0,\\[4pt] x(-x+\pi), & 0<x<\pi, \end{cases}e f(0)=0\] (pelas duas fórmulas).
- Intervalo de trabalho: \(-\pi\le x\le\pi.
- Pedidos concretos que vou responder ao final: para cada N=1,2,3,4,5 tenho que dar (i) o polinômio trigonométrico ótimo F_N(x) da forma truncada de grau N e (ii) o valor mínimo do erro quadradoE_N=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(x)-F_N(x)\bigr)^2\,dx.]
Passo 2
Escolha do método (explicação amigável do porquê): projeção em bases trigonométricas
Quando queremos minimizar o erro quadrado entre f e um polinômio trigonométrico de grau N, estamos projetando f sobre o subespaço gerado por \{1,\cos x,\sin x,\ldots,\cos(Nx),\sin(Nx)\} no espaço L^2([-\pi,\pi]) com produto interno \langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx.
Propriedade-chave (intuitiva e muito útil): a projeção ortogonal sobre esse subespaço é dada pelos coeficientes de Fourier de f até ordem N. Ou seja, o polinômio trigonométrico que minimiza o erro quadrado é exatamente a soma das primeiras N componentes da série de Fourier de f.
Logo: precisamos calcular os coeficientes de Fourier de f e tomar o somatório das componentes até N. Vou mostrar isso na prática — e prometo ir passo a passo nas contas.
Passo 3
Observação de simetria (isso simplifica MUITO as contas)
Verifico a paridade de f. Para x\in(0,\pi),f(-x)=(-x)((-x)+\pi)=x^2-\pi x=-\bigl(-x^2+\pi x\bigr)=-f(x).Portanto f é ímpar: f(-x)=-f(x).
Consequência prática: na série de Fourier só aparecem termos senoidais. O termo constante a_0 e todos os coeficientes a_n das cossenos são zero. O melhor polinômio trigonométrico de grau N tem a formaF_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin(nx),com coeficientes b_n dados porb_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.Como f e \sin(nt) são ímpares, o produto é par, e podemos escreverb_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(t)\sin(nt)\,dt.
A primeira parcela é -\dfrac{\pi^2\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi^2(-1)^n}{n}. Agora calcule K=\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt. Integração por partes com u=t, dv=\cos(nt)\,dt (v=\dfrac{\sin(nt)}{n}) dá
Usando os coeficientes acima,F_N(x)=\sum_{n=1}^{N} b_n\sin(nx) =\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{8}{\pi n^3}\sin(nx).í(termos pares não aparecem porque b_n=0 para n par.)
Passo 6
Fórmula do erro mínimo (intuição via ortogonalidade / Parseval)
A diferença residual r_N(x)=f(x)-F_N(x) é ortogonal a todas as funções do subespaço gerador (propriedade da projeção). Pelo teorema de Pitágoras em L^2,\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)^2\,dx+\int_{-\pi}^{\pi} r_N(x)^2\,dx.Logo o erro mínimo procurado éE_N=\int_{-\pi}^{\pi} r_N(x)^2\,dx =\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx-\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)^2\,dx.
Portanto uma forma conveniente do erro mínimo éE_N=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx-\frac{64}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{1}{n^6}.í
Passo 7
Cálculo do termo \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx (energia total)
f^2 é par, então\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx=2\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx.
Expansão e integração direta (passo a passo):\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2=x^4-2\pi x^3+\pi^2 x^2.Assim\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx =\int_{0}^{\pi}x^4\,dx-2\pi\int_{0}^{\pi}x^3\,dx+\pi^2\int_{0}^{\pi}x^2\,dx.Calcule cada integral:\int_{0}^{\pi}x^4\,dx=\frac{\pi^5}{5},\qquad \int_{0}^{\pi}x^3\,dx=\frac{\pi^4}{4},\qquad \int_{0}^{\pi}x^2\,dx=\frac{\pi^3}{3}.Substituindo:\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx =\frac{\pi^5}{5}-2\pi\cdot\frac{\pi^4}{4}+\pi^2\cdot\frac{\pi^3}{3} =\pi^5\Bigl(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Bigr).O fator entre parênteses vale \dfrac{1}{30}. Logo\int_{0}^{\pi}\bigl(-x^2+\pi x\bigr)^2\,dx=\frac{\pi^5}{30}.Finalmente,\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = 2\cdot\frac{\pi^5}{30}=\frac{\pi^5}{15}.
Passo 8
Fórmula final do erro mínimo e aplicação para N=1,2,3,4,5
Substituindo \int_{-\pi}^{\pi} f^2=\dfrac{\pi^5}{15} em E_N, temos a expressão exataE_N=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{N}\frac{1}{n^6}.í
Para praticidade, observamos que os coeficientes são nulos para n par, então E_N muda apenas quando N passa por um inteiro ímpar. Assim:
N=2: mesmo que N=1 (não adicionamos termos ímpares novos), entãoE_2=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}.
N=3: soma inclui n=1,3, ou seja 1+\dfrac{1}{3^6}=1+\dfrac{1}{729}=\dfrac{730}{729}. AssimE_3=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{730}{729}.
N=4: mesmo que N=3, pois 4 é par:E_4=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{730}{729}.
N=5: soma inclui n=1,3,5, ou seja 1+\dfrac{1}{729}+\dfrac{1}{15625}=\dfrac{11406979}{11390625}. LogoE_5=\frac{\pi^5}{15}-\frac{64}{\pi}\cdot\frac{11406979}{11390625}.
Valores numéricos aproximados (para ter noção do quão rápido o erro cai):E_1\approx 0{,}0294796,\quad E_2\approx 0{,}0294796,\quad E_3\approx 0{,}0015356,\quad E_4\approx 0{,}0015356,\quad E_5\approx 0{,}0002311.