Calcule a integral
\int_{0}^{\pi / 3} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi} \sin (x+2 y+3 z) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{z=0}^{\pi/3}\int_{y=0}^{\pi/2}\int_{x=0}^{\pi}\sin(x+2y+3z)\,dx\,dy\,dz.
O conteúdo necessário é a integração iterada, usando a primitiva de \sin e propriedades trigonométricas.

Passo 2

Integramos em x primeiro, tratando y e z como constantes:
\int_{0}^{\pi}\sin(x+2y+3z)\,dx = \bigl[-\cos(x+2y+3z)\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi+2y+3z)+\cos(2y+3z).
Como \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha), temos
-\cos(\pi+2y+3z)+\cos(2y+3z) = \cos(2y+3z)+\cos(2y+3z) = 2\cos(2y+3z).

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{\pi/2}2\cos(2y+3z)\,dy = 2\left[\frac{1}{2}\sin(2y+3z)\right]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi+3z)-\sin(3z).
E como \sin(\pi+3z)=-\sin(3z), resulta
\sin(\pi+3z)-\sin(3z) = -2\sin(3z).

Passo 4

Por fim, integramos em z:
\int_{0}^{\pi/3}\bigl(-2\sin(3z)\bigr)\,dz = -2\left[-\frac{1}{3}\cos(3z)\right]_{0}^{\pi/3} = \frac{2}{3}\bigl[\cos(\pi)-\cos(0)\bigr] = \frac{2}{3}[-1-1] = -\frac{4}{3}.

Resposta

-\frac{4}{3}

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